4x的平方加3y的平方等于1,求x的平方+2xy+5y的平方的最大值和最小值
1个回答
关注
![]()
展开全部
我们首先需要计算表达式 x^2 + 2xy + 5y^2。观察等式 4x^2 + 3y^2 = 1，
我们可以将其改写为：
x^2 = (1/4)(1 - 3y^2)
y^2 = (1/3)(1 - 4x^2)
接下来，我们将这两个表达式代入原始表达式 x^2 + 2xy + 5y^2：
(1/4)(1 - 3y^2) + 2xy(√(1/12)(1 - 4x^2)y) + 5(1/3)(1 - 4x^2)
为了求得这个表达式的最大值和最小值，我们需要进行深入的分析。令 z = x^2 + 2xy + 5y^2，并且考虑二次型的标准型：A * x^2 + B * xy + C * y^2。（其中 A, B, C 是常数）
观察到对于 x 和 y，目标函数 z = A * x^2 + B * xy + C * y^2 的形式与给定问题相同。根据二次型理论，确定最大/最小值时需要关注以下三种情况：
1. 如果 A > 0 且 C > 0，则 z 有最小值。
2. 如果 A < 0 且 C < 0，则 z 有最大值。
3. 如果 A > 0 且 C < 0，则 z 在 x 和 y 取到某些值时取得最大值，在 x 和 y 取到另一些值时取得最小值。
咨询记录 · 回答于2024-01-17
4x的平方加3y的平方等于1,求x的平方+2xy+5y的平方的最大值和最小值
最小值等于 0 最大值 无穷大！解答如下
我们先计算 $x^2 + 2xy + 5y^2$ 这个表达式。首先观察等式：
$4x^2 + 3y^2 = 1$
我们可以将其改写为：
$x^2 = \frac{1}{4}(1 - 3y^2)$
$y^2 = \frac{1}{3}(1 - 4x^2)$
将这两个表达式代入原始表达式 $x^2 + 2xy + 5y^2$：
$\frac{1}{4}(1-3y^2) + 2x\sqrt{\frac{1}{12}(1-4x^2)}y + \frac{5}{3}(1-4x^2)$
为了求最大值和最小值，我们要分析这个表达式。令 $z = x^2 + 2xy + 5y^2$，考虑二次型的标准型：$A x^2 + B xy + C y^2$（其中 $A, B, C$ 是常数）。
我们可以看出对于 $x$ 和 $y$，目标函数 $z = A x^2 + B xy + C y^2$ 的形式与给定问题相同。根据二次型理论，确定最大/最小值时需要关注三种情况：
1. 如果 $A>0$ 且 $C>0$，则 $z$ 有最小值。
2. 如果 $A<0$ 且 $C<0$，则 $z$ 有最大值。
3. 如果 $A=0$ 且 $C=0$，则 $z$ 有极值。
因此，z有最小值。根据二次型理论和拉格朗日乘数法，我们可以得到z的最小值是当x^2 = 1/4，y^2 = 1/3时取得。将这些值代入表达式：
z_min = (1/4)(1 - 3(1/3)) + 5(1/3)(1 - 4(1/4))
z_min = 0
关于z的最大值，由于二次型条件限制了x和y的可能范围，在这个问题中，并没有能让z取到最大值的情况。所以对于本题，没有最大值的解。
综上：
最小值：z_min = 0
最大值：无穷大
已赞过
评论
收起
你对这个回答的评价是？
