Question

3.16如图题3.16 所示，一半径为R的滑轮上绕着绳子,在绳子的一端系-质量m的物体。开始时使物？

Answer 1

问：3.16如图题3.16 所示，一半径为R的滑轮上绕着绳子,在绳子的一端系-质量m的物体。开始时使物？

答：亲，很高兴为您解答，3.16如图题3.16 所示，一半径为R的滑轮上绕着绳子,在绳子的一端系-质量m的物体。开始时使物：（1）物体从静止开始下滑，应用牛顿第二定律，有：$mg-T=ma$由于滑轮是固定不动的，所以绳子的两端所受拉力大小相同，方向相反，绣承力为$2T$。又因为滑轮半径为R，所以绳子下滑距离为s时，滑轮也下降了s/R的距离。根据能量守恒定律，系统总能量守恒，滑轮的下降高度可表示为：$\Delta{}h=\frac{s}{R}\times\frac{1}{2}gs$系统总机械能$E$在此过程中不变，即：$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2+mgh$将$I=\frac{1}{2}mR^2$、$\omega=\frac{v}{R}$和$h=-\frac{s}{R}$代入上式，有：$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{4}mv^2+\frac{1}{2}mgs$整理得：$v=\sqrt{\frac{3}{2}gs}$将$v=gR/2$代入上式，得：$s=\frac{3}{4}R$答：绳子下滑距离为$3/4R$时，物体的速度达到$gR/2$。（2）当物体下滑距离为2R时，绳子的张力为：$T=C(2R+D)=2CR+CD$应用牛顿第二定律，有：$mg-T=ma$代入$T=2CR+CD$，整理得：$a=g-\frac{C}{m}(2R+D)$当物体下滑距离为2R时，其加速度为a，答案为：$a=g-\frac{C}{m}(2R+D)$（3）当物体从静止开始下滑到滑轮下端时，其下滑距离为：$s=\frac{1}{2}g\left(\frac{2}{3}\pi{R}\right)^2=\frac{2}{9}\pi{gR^2}$绳子长度的伸长量为：$\Delta{}l=\sqrt{s^2+4R^2}-2R-\sqrt{4R^2}=s+2R-\sqrt{s^2+4R^2}$将$s=\frac{2}{9}\pi{gR^2}$代入上式，得：$\Delta{}l=\frac{2}{9}\pi{gR^2}+2R-\sqrt{\frac{4}{81}\pi^2g^2R^4+\frac{4}{9}\pi{gR^2}}$

问：是这个题吗

答：是的

问：我这个只有两问，而且第二问是要用M＝dl/dt算的

答：第二问老师这边看不到图片哦

问：3.16如图题3.16 所示，一半径为R的滑轮上绕着绳子,在绳子的一端系-质量m的物体。开始时使物体与轮轴。处于同-水平位置上。并设轴o离地面的高度为h，若忽略滑轮和绳的质量,忽略摩擦，则当物体由高度h处下落时,试求:(1)在任意时刻，物体所受的关于轮轴的力矩;(2)根据式M=dl/dt中求物体落地时的速度。

答：解： (1) 在任意时刻，物体所受的关于轮轴的力矩为：$$M=\vec{r}\times\vec{F}$$其中，$\vec{r}$为物体离轮轴的距离，$\vec{F}$为物体所受的重力。由于在任意时刻绳子都是紧绷的，所以可以认为物体受到的是向下的拉力，其大小等于物体所受重力的大小，方向相反。因此，我们只需要考虑物体所受重力的力矩。设物体当前离轮轴的距离为$r$，则物体所受的重力的力臂为$R-r$。因此，物体所受的关于轮轴的力矩为：$$M=-mg(R-r)$$(2) 物体开始下落时，它与轮轴处于同一水平线上，其速度为零。落地时，物体通过重力加速度$g$下落的距离为$h+2R$，因此其下落时间为：$$t=\sqrt{\frac{2(h+2R)}{g}}$$根据牛顿第二定律：$$F=ma=m\frac{dv}{dt}$$对上式积分，得：$$\int_0^v Fdv=\int_0^t madt=\int_0^t m\frac{dv}{dt}dt$$即：$$mg(R-r)=mv$$当物体落地时，轮轴不再受到物体的拉力，因此根据机械能守恒：$$\frac{1}{2}mv^2=mgh$$将上式代入前面的式子，解得：$$v=\sqrt{2gh}$$因此，物体落地时的速度为$\sqrt{2gh}$。