Question

曲面z=x^2-y^2在点(2,1,3)处的切平面方程

Answer 1

问：曲面z=x^2-y^2在点(2,1,3)处的切平面方程

答：曲面 $z = x^2 - y^2$ 在点 $(2,1,3)$ 处的切平面方程可以通过以下步骤来求解：求曲面在点 $(2,1,3)$ 处的法向量：曲面的法向量可以通过对曲面方程中的 $x, y, z$ 分别求偏导数，并在点 $(2,1,3)$ 处代入得到。偏导数如下：$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$$\frac{\partial z}{\partial y} = -2y$将点 $(2,1,3)$ 代入，得到法向量：$\frac{\partial z}{\partial x}(2,1,3) = 2(2) = 4$$\frac{\partial z}{\partial y}(2,1,3) = -2(1) = -2$所以，曲面在点 $(2,1,3)$ 处的法向量为 $\vec{n} = (4,-2,1)$。切平面方程的一般形式为 $Ax + By + Cz + D = 0$，其中 $(A,B,C)$ 是平面的法向量，$D$ 是常数项。将步骤 1 中求得的法向量代入切平面方程中，得到切平面方程为：$4x - 2y + z + D = 0$最后，将点 $(2,1,3)$ 代入切平面方程，解得常数项 $D$：$4(2) - 2(1) + 3 + D = 0$解得 $D = -15$。所以，曲面 $z = x^2 - y^2$ 在点 $(2,1,3)$ 处的切平面方程为：$4x - 2y + z - 15 = 0$

问：设f（x，y）=In（x+x^2y），则fy'（1，0）=

答：首先，我们需要计算函数 $f(x, y) = \ln(x + x^2y)$ 的一阶偏导数。对于 $f(x, y)$，对 $y$ 进行偏导数，记作 $f_y$，可以使用链式法则进行计算，即：$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \ln(x + x^2y)$根据链式法则，我们有：$f_y = \frac{1}{x + x^2y} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x + x^2y)$$f_y = \frac{1}{x + x^2y} \cdot (x^2 + 2xy)$现在，我们可以代入 $x = 1$ 和 $y = 0$，计算 $f_y'(1, 0)$，即：$f_y'(1, 0) = \frac{1}{1 + 1 \cdot 0} \cdot (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 0)$$f_y'(1, 0) = 1$所以，$f_y'(1, 0) = 1$。

问：设f（x，y）=x+y^3，则dz|（1，1）=

问：函数z=In（x-y^2）+根号（x^2+y^2-1）的定义域是

问：设f（x，y）=x+y-根号（x^2+y^2），求df（x，y）

答：求偏导数 DF/DXdf/dx = 1 - x/根号（x^2+y^2）df/dy = 1 - y/根号（x^2+y^2）解释一下：根据偏导数的定义，偏导数 df/dx 表示 f 在 x 点上，沿着 x 轴的变化率，而 df/dy 则表示沿着 y 轴的变化率。因此我们需要先对 f(x, y) 进行偏导数运算，然后再带入 x，y 的值得出数值。由于 f(x, y) 中包含平方根，因此我们需要使用链式法则，先求平方根内的偏导数：∂/∂x(根号(x^2+y^2)) = x/根号(x^2+y^2)∂/∂y(根号(x^2+y^2)) = y/根号(x^2+y^2)然后带入 f(x, y) 的公式中，得到df/dx = ∂f/∂x = 1 - x/根号(x^2+y^2)df/dy = ∂f/∂y = 1 - y/根号(x^2+y^2)因此，f(x, y) 的偏导数为 df/dx = 1 - x/根号(x^2+y^2) 和 df/dy = 1 - y/根号(x^2+y^2)。