Question

5.设n是正整数,则+2n-1+,5n-1,+13n-1+必有非平方数.

Answer 1

问：5.设n是正整数,则+2n-1+,5n-1,+13n-1+必有非平方数.

答：亲，设k=2n-1，则k+1=2n，并且k+1不是完全平方数。因为如果k+1是完全平方数，则它的根为奇数m，那么k+1=(m+1)(m-1)，由于m为奇数，所以m+1和m-1都是偶数，且它们的乘积等于k+1，那么k+1一定能被4整除，但2n-1不能被4整除，因此k+1不是完全平方数。同理可得5n-1和13n-1也不是完全平方数。因此，+2n-1+,5n-1,+13n-1+必有非平方数。

答：亲，你是要解题过程还是

问：k+1不是平方数与2n-1不是平方数有什么联系

答：亲，如果k+1不是平方数，那么它可以表示成p^2+q形式，其中p、q是正整数且q

问：2n-1怎么分解成(2p)^2+(2q-1)^2

答：亲，我们需要将2n-1表示为两个平方数的和，也就是说： 2n-1 = (2p)^2 + (2q-1)^2 展开右边的式子可以得到： 2n-1 = 4p^2 + 4q^2 - 4q + 1 化简一下，得到： n = p^2 + (q-1/2)^2 这说明，如果我们能找出合适的p和q，使得它们满足上述条件，那么2n-1就可以被分解成(2p)^2 + (2q-1)^2的形式。 举个例子，假设n=7，那么： n = p^2 + (q-1/2)^2 7 = p^2 + (q-1/2)^2 我们可以试着将q取为2，那么就有： 7 = p^2 + (2-1/2)^2 = p^2 + 5/4 可以解得p=2，于是： 2n-1 = 4p^2 + 4q^2 - 4q + 1 = 4*2^2 + 4*2^2 - 4*2 + 1 = 25 而25可以被分解成5^2，也就是说，我们找到了一组满足条件的p和q，使得2n-1可以被分解成(2p)^2 + (2q-1)^2的形式。 当然，并不是所有的n都能找到满足条件的p和q，比如n=8，试着按照上述方法进行分解，会发现无解。但如果n是一个奇数，那么一定存在满足条件的p和q，这是一个经典结论。