Question

a+b^2=1.求1/a+1/b的最大值

Answer 1

问：a+b^2=1.求1/a+1/b的最大值

答：亲 您好 很高兴为您解答 希望以下回复能够帮助到您亲，关于您的问题这边给出的答案是：首先将等式a+b^2=1变形为a=1-b^2，然后代入到目标式子中，得到：1/a + 1/b = 1/(1-b^2) + 1/b接下来将这个式子化简：1/(1-b^2) + 1/b = (b+1)/(b*(1-b)(b+1)) + (1-b)/(b*(b-1)(b-1))= (2*b - b^3 - 1)/(b*(b-1)*(b+1)*(1-b))= -(b^3 - 2*b + 1)/[(b-1)*b*(b+1)*(b-0)]注意到这个式子的分母是一个四次多项式，在求取最大值时不太容易处理。因此我们考虑使用两个数的调和平均数不等式，即：对于任意非零实数x和y，有：(2/(x+y)) <= (1/x) + (1/y)等价于：x*y/(x+y) <= (x+y)/2回到原问题，我们令x=b-0.5，y=b+0.5，则有：-(b^3 - 2*b + 1)/[(b-0.5)*(b+0.5)*(b-1)*b*(b+1)] = [0.5*(2*b - b^3 - 0.5)]/[(b-0.5)*(b+0.5)*(-0.5+b)*b*(0.5+b)]<= [0.25*((2*b - b^3) * (-0.5+b))]/[(b-0.5)*(b+0.5)*(-0.5+b)*b*(0.5+b)]= [0.25*(2*b - b^3)]/[(b-0.5)*b*(0.5+b)]= [(1-b^2)*b]/[(b-0.5)*b*(0.5+b)]= (1-b^2)/[0.25 - b^2]通过求导可以发现，当b=sqrt(2)/2时，函数取得最大值为4。因此，1/a + 1/b的最大值为4