Question

差分方程yt+1-yt=4的通解为

Answer 1

问：差分方程yt+1-yt=4的通解为

答：差分方程为：yt+1 - yt = 4 这是一个一阶线性非齐次差分方程，其中常数项为4。 我们可以先将其转化为齐次形式，即yt+1 - yt = 0 这是一个一阶线性齐次差分方程，它的通解为：yt = C1r^t 其中，C1是常数，r是未知参数。 然后，我们需要找到非齐次方程的一个特解。 由于常数项为4，所以我们可以猜测一个常数解，即yt+1 - yt = 4，令yt+1 = k，则有k - yt = 4，解得k = yt + 4。 因此，非齐次方程的一个特解为yt+1 = yt + 4。 最后，将齐次通解和非齐次特解相加，得到原方程的通解为：yt = C1r^t + 4 其中，C1是任意常数，r是齐次方程的解。

答：图片看不到

问：yt+1 +4yt=3*2的t次方

答：这是一个形如：yt+1 + 4yt = 3×2^t的t次方的线性同次差分方程，具有恒定系数。我们可以使用特征根法来解决这个方程。 首先，我们假设解为 yt = r^t，其中 r 是待确定的常数。将其代入方程中，得到：r^(t+1) + 4r^t = 3×2^t 将两边除以 2^t，得到：r(r+4) = 3 解出 r，得到：r = (-4 ± sqrt(16 + 12))/2 = -2 ± sqrt(7) 因此，该差分方程的通解为：yt = c1*(-2 + sqrt(7))^t + c2*(-2 - sqrt(7))^t + 2^t 其中 c1 和 c2 为由初始条件确定的常数。

问：1+x的平方分之1 的幂级数展式为多少

答：我们可以使用幂级数展开的公式来求解： (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 将其代入到(1 + x)^(-1)的幂级数展开公式中，得到： (1 + x)^(-1) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ... 这是一个交错幂级数，其收敛半径为1。当|x| < 1时，该幂级数收敛于(1 + x)^(-1)。

问：函数(为任意常数）是差分方程的通解，其满足初始条件：的特解为什么

答：对于一个差分方程的通解，它是一个函数形式，其中包含一个任意常数。这个任意常数可以通过应用初始条件来确定，从而得到一个特定的解。 具体地说，假设我们有一个差分方程 $y_{n+1} - y_n = k$，其中 $k$ 是常数，$y_n$ 表示 $n$ 时刻的解。那么这个差分方程的通解形式可以写成 $y_n = C + kn$，其中 $C$ 是任意常数。 现在假设我们知道在某个时刻 $n = 0$ 时，$y_0$ 的值是 $y_0 = y_0^*$，那么我们可以通过将 $n$ 替换为 $0$，$y_n$ 替换为 $y_0^*$，从而得到一个方程 $y_0^* = C$，解出常数 $C$ 的值为 $C = y_0^*$。 因此，我们得到了一个特定的解 $y_n = y_0^* + kn$，它满足差分方程 $y_{n+1} - y_n = k$，并且在 $n = 0$ 时满足初始条件 $y_0 = y_0^*$。这个特定的解被称为差分方程的特解。

问：n阶非齐次线性差分方程的通解等于它的一个特解与它对应的齐次方程的通解之和。

问：函数(为任意常数）是差分方程的通解，其满足初始条件：的特解是多少 ？

答：其中 $c_1, c_2, \dots, c_n$ 是待定常数。 这个式子给出了 $n$ 阶非齐次线性差分方程的通解，它由特解 $y_p(n)$ 和对应齐次方程的通解 $y_c(n)$ 的线性组合构成。 待定常数 $c_1, c_2, \dots, c_n$ 可以通过应用初始条件来确定。