Question

二次函数求极值

Answer 1

二次函数是一类具有以下形式的函数：$f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$、$c$ 为常数，$a\neq0$。二次函数是一种非常常见的函数形式，用于描述许多现实世界中的问题，比如 简谐振动、抛物线运动等。求二次函数的极值是一个常见的问题。
要求二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的极值，可以通过求导数的方法实现。因为二次函数是一个连续的函数，所以在其极值处必然存在导数为0的点。我们可以对 $f(x)$ 求导，得到一次函数 $f'(x)=2ax+b$。当 $f'(x)=0$ 时，即可求得极值点的 $x$ 坐标。将其代入原方程，即可得到极值点的 $y$ 坐标。此外，还需要判断二次函数的凸凹性，以确定极值点是最大值还是最小值。
我们可以通过求二次函数的导数和画函数图像的方法，直观的了解其极值点及其性质。当 $a>0$ 时，二次函数呈现开口向上的抛物线形态，且具有最小值点；当 $a<0$ 时，则呈现开口向下的形态，具有最大值。此外，当 $a$ 不等于0时，二次函数的对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，其上最高点或最低点即为极值点。
总之，求二次函数的极值是一种常见的问题。通过求导、求解方程以及判断凸凹性等方法，可以求得函数的极值点坐标及其性质。在实际问题中，常常需要求得一个最优解或最大收益点等，因此理解二次函数的极值问题对于数学建模及实际问题解决具有重要的意义。