x∈[0,π],tan2x=sinx/2+cosx+求tanx
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先将等式中的$\tan 2x$用$\tan x$表示出来，有：
$$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$$
然后将等式中的 $\sin x$ 和 $\cos x$ 用 $\tan x$ 表示出来，有：
$$\sin x = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}, \qquad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}$$
带入题目中的等式，得到：
$$\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{\frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}$$
化简后得到：
$$2 \sqrt{1 + \tan^2 x} = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} + \tan x$$
移项可以得到：
$$\tan^3 x + 2 \tan^2 x - 3 \tan x - 2 = 0$$
注意到 $x \in [0, \pi]$，因此 $\tan x$ 必须为负数。设 $t = -\tan x$，将方程变形为：
$$t^3 + 2t^2 - 3t - 2 = 0$$
对该方程进行因式分解，可以得到：
$$(t+1)(t-1)(t+2) = 0$$
因为 $-\tan x = t$，所以 $t < 0$，因此只有一个根为 $t = -1$，即 $\tan x = 1$。因此：
$$x = \frac{\pi}{4}$$
因此，$\tan x = \tan (\frac{\pi}{4}) = \boxed{1}$。
咨询记录 · 回答于2024-01-04
x∈[0,π],tan2x=sinx/2+cosx+求tanx
先将等式中的$\tan 2x$用$\tan x$表示出来，有：
$$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$$
然后将等式中的 $\sin x$ 和 $\cos x$ 用 $\tan x$ 表示出来，有：
$$\sin x = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}, \qquad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}$$
带入题目中的等式，得到：
$$\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{\frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}$$
化简后得到：
$$2 \sqrt{1 + \tan^2 x} = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} + \tan x$$
移项可以得到：
$$\tan^3 x + 2 \tan^2 x - 3 \tan x - 2 = 0$$
注意到 $x \in [0, \pi]$，因此 $\tan x$ 必须为负数。设 $t = -\tan x$，将方程变形为：
$$t^3 + 2t^2 - 3t - 2 = 0$$
对该方程进行因式分解，可以得到：
$$(t+1)(t-1)(t+2) = 0$$
因为 $-\tan x = t$，所以 $t < 0$，因此只有一个根为 $t = -1$，即 $\tan x = 1$。因此：
$$x = \frac{\pi}{4}$$
因此，$\tan x = \tan (\frac{\pi}{4}) = \boxed{1}$。
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