Question

求曲线积分 I={xdy-ydx, 其中L为曲线 y=x^3 上从(0,0)到(1,1)的有向曲线弧

Answer 1

问：求曲线积分 I={xdy-ydx, 其中L为曲线 y=x^3 上从(0,0)到(1,1)的有向曲线弧

答：你好！对于给定的曲线积分 I={xdy-ydx，我们可以通过参数化曲线来计算。曲线 y=x^3 从点 (0,0) 到点 (1,1) 可以参数化为 r(t)=(t,t^3)，其中 t∈[0,1]。现在我们来计算曲线积分。首先，计算 dx 和 dy，我们有：dx = r'(t)dt = (1, 3t^2)dtdy = r'(t)dt = (t^3, 3t^2)dt将 dx 和 dy 代入曲线积分的表达式中，我们有：I = ∫[L] (xdy - ydx)= ∫[0,1] (t^3 * (1, 3t^2)dt - t * (t^3, 3t^2)dt)= ∫[0,1] (t^3 - 3t^4)dt= [t^4/4 - t^5/5] [0,1]= 1/4 - 1/5= 1/20所以，曲线积分 I={xdy-ydx 在曲线 y=x^3 上从点 (0,0) 到点 (1,1) 的有向曲线弧上的值为 1/20。

答：曲线积分可以用于计算沿着曲线的路径的物理量，比如力的功、电场的电势差等。在本题中，通过将曲线参数化，我们可以将曲线积分转化为对参数 t 的积分。然后通过求解积分，我们可以得到曲线积分的结果。