Question

设f：X到Y为映射，A包含于X，B包含于Y。则1）A包含于f-1（f（A）） 2）f（f-1（B））包含于B 证明：若映射f为单射，则1）中等号成立，若f为满射，则2）中等号成立

Answer 1

问：设f：X到Y为映射，A包含于X，B包含于Y。则1）A包含于f-1（f（A）） 2）f（f-1（B））包含于B 证明：若映射f为单射，则1）中等号成立，若f为满射，则2）中等号成立

答：亲，您好！解答如下您可以参考一下：1、设x∈A,则f(x)∈f(A),所以x∈f-1（f(A)）.所以集合A包含于f-1（f(A)）.2、只要证明f-1（f(A)）也包含于A即可.设z∈f-1（f(A)）,则f(z)∈f(A),所以存在x∈A,使得f(z)＝f(x).因为f是单射,由f(z)＝f(x)得z＝x,所以z∈A.所以f-1（f(A)）包含于A.由A包含于f-1（f(A)）,f-1（f(A)）包含于A 得f-1（f(A)）=A.

问：2）应该怎么证明？

答：亲，您好！任取y∈f(A∪B),则存在x属于A∪B,使得y=f(x).则x∈A或者x∈B,所以,y=f(x)∈f(A)或者y=f(x)∈f(B).所以y∈f(A)∪f(B).所以f(A∪B)包含于f(A)∪f(B)任取y∈f(A)∪f(B),则y属于f(A)或者f(B)所以存在x∈A或者B使得f(x)=y.即x∈A∪B.所以y∈f(A∪B).所以f(A)∪f(B)包含于f(A∪B)所以f(A∪B)=f(A)∪f(B);