Question

函数f(x)=ln(1十x)在区间x∈【一1,2】上满足拉格朗日定理的条件

Answer 1

问：函数f(x)=ln(1十x)在区间x∈【一1,2】上满足拉格朗日定理的条件

答：亲亲，你好，很高兴为你解答，在函数f(x) = ln(1+x) 的定义域 x ∈ (-1, 2) 内，存在一个数 c ≈ 1.0986，满足拉格朗日中值定理的条件。根据拉格朗日中值定理，如果一个函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在区间(a,b)内充分具有可导性，那么在区间(a,b)内至少存在一个数c，使得：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)其中，c ∈ (a,b)。对于函数f(x) = ln(1+x)，在区间x ∈ (-1, 2)上，我们可以发现：它在区间(-1, 2)上连续；它在区间(-1, 2)内充分具有可导性。那么，根据拉格朗日中值定理，我们可以得出：存在c ∈ (-1, 2)，使得：f'(c) = [f(2) - f(-1)] / (2 - (-1))其中，f'(c) = 1 / (1+c)f(2) = ln(3)f(-1) = ln(0) = -∞因为 ln(1+x) 中，当x=0时，函数值为0，而当x→-1时，函数值趋于负无穷，因此，ln(1+x) 不在 x = -1 处连续，也就不满足拉格朗日中值定理的条件。因此，我们只需要考虑函数在区间(-1,2)内的情况。代入上述公式，可以得到：1 / (1+c) = ln(3) / 3化简可得：c = (e^(ln3/3)) - 1 ≈ 1.0986因此，在函数f(x) = ln(1+x) 的定义域 x ∈ (-1, 2) 内，存在一个数 c ≈ 1.0986，满足拉格朗日中值定理的条件。

问：是判断题，问的结果是是否正确

问：李老师，本题是判断是，只需要答案是否正确

答：亲亲，你好，很高兴为你解答，存在一个ξ∈(-1,2)，满足上式成立，根据拉格朗日中值定理，若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则存在一个ξ∈(a,b)，使得 f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)应用到该问题中，有：f(x) = ln(1+x)f'(x) = 1/(1+x)因此，在区间x∈(-1,2)上，f'(x)在(-1,2)内都是连续的。而且在(-1, 2)内，f(x)的导数f'(x)也是连续的。因此，函数f(x)在区间x∈(-1,2)上满足拉格朗日定理的条件，也就是说，在(-1,2)内有一个点ξ，使得f(2)-f(-1)=f'（ξ)(2-(-1))即ln(1+2)-ln(1+(-1)) = f'(ξ)*3ln(3) = f'(ξ)*3因此，存在一个ξ∈(-1,2)，满足上式成立。