Question

求极限+lim(1/2+3/2^2+5/2^2+···+(2n-1)/2^n

Answer 1

问：求极限+lim(1/2+3/2^2+5/2^2+···+(2n-1)/2^n

答：求极限+lim(1/2+3/2^2+5/2^2+···+(2n-1)/2^n令Sn=1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n,则1/2Sn=1/2^2+3/2^3+5/2^4+...+(2n-1)/2^(n+1)两式相减1/2Sn=1/2+2(1/2^2+1/2^3+...+1/2^n)-(2n-1)/2^(n+1)则1/2Sn=1/2+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)1/2Sn=1/2+1/2*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-(2n-1)/2^(n+1)Sn=3-2*(1/2)^n-)-(2n-1)/2^(n+1)则lim （n→∞）（1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n）=lim （n→∞）3-2*(1/2)^n-)-(2n-1)/2^(n+1)=3

问：我用的级数做的但是不懂x的取值为啥在根号2和负根号2之间

答：答案随便取的

问：啊这咋随便取的呀

答：我看一下哟

答：首先，我们将原始的极限表达式进行推导：(lim)┬(n→∞) (1/2 + 3/2^2 + 5/2^3 + ⋯ + (2n-1)/2^n)= (lim)┬(n→∞) ∑_(i=1)^n (2i-1)/2^i现在，我们来看函数S(x)的表达式：S(x) = ∑_(n=1)^∞ (2n-1)/2^n x^(2n-2) （其中， 一√2 < x < √2）为了理解为什么x的取值范围是在一√2 和 √2之间，我们来看一下推导过程：在原始的极限表达式中，每一项的分母是2的幂次，而x的幂次是2n-2，因此我们希望2n-2的指数可以与分母的幂次相匹配，这样可以方便进行求和。所以，我们令x^2 = 1/2 （这样才能与分母2^n相抵消），解得x = ± 1/√2。由于题目中限制了x的取值范围是在一√2和√2之间，所以我们取正数解x = 1/√2，这样可以满足x的取值范围的要求。因此，函数S(x)的表达式为S(x) = ∑_(n=1)^∞ (2n-1)/2^n (1/2)^(2n-2) 在一√2