Question

已知向量a=[cos(3x/2),sin(3x/2)],已知向量b=[cos(x/2),-sin(x/2)],x属于[0,兀/3]

已知向量a=[cos(3x/2),sin(3x/2)],已知向量b=[cos(x/2),-sin(x/2)],x属于[0,兀/3]
1)求F(x)=向量a*向量b/|向量a+向量b|的最大值
2）若不等式 入*向量a*向量b-1/2|向量a+向量b|+入-1小于等于0对x属于[0.，兀/3]恒成立，求实数入的取值范围

Answer 1

（1）向量a=(cos3x/2,sin3x/2),
向量b=(cosx/2),-sinx/2),
向量a·b=(cos3x/2)*(cosx/2)+(sin3x/2)*(-sinx/2),
=cos(3x/2+x/2)=cos2x,
向量a+b=(cos3x/2+cosx/2,sin3x/2-sinx/2),
|a+b|=√[（cos3x/2+cosx/2）^2+(sin3x/2-sinx/2)^2]
=√{(2cos2xcosx/2)*2+(2cos2xsinx/2)]
=2√(cos2x)^2*[cosx/2)^2+(sinx/2)^2]
=2|cos2x|,
F(x)=a·b/|a+b|
=cos2x/（2|cos2x|）,
x∈[0,π/3]，
2x∈[0,2π/3]，
当2x∈[0,π/2]时，cos2x>0,
F(x)=1/2,最大。
（2）λa·b-（1/2）|a+b|+λ-1≤0，x∈[0,π/3]，
λcos2x+λ≤cos2x/(4|cos2x|)+1,
λ(1+cos2x)≤cos2x/(4|cos2x|)+1,
2x∈[0,2π/3]，
1+cos2x≥0，
λ≤[cos2x/(4|cos2x|)+1]/（1+cos2x),
当2x∈[0,π/2]时，
λ≤（5/4）（1+cos2x),
1+cos2最大为2，
λ≤5/8，
2x∈[π/2,2π/3]时，
λ≤（3/4）/（1+cos2x),
（1+cos2x)最大为1/2，（1-1/2）
λ≤3/2，
取其交集，
λ≤5/8。

Answer 2

显然圆心(5,1)不在直线y=x上。由对称性可知，只有直线y=x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=x，从这点做切线才能关于直线y=x对称。所以该点与圆形连线所在的直线方程为：
y-5=-(x-1) 即 y=6-x
与 y=x联立可求出该点坐标为(3,3),所以该点到圆心的距离为
((5-3)^2 + (1-3)^2) = 2根号2
切线、半径以及该点与圆形连线构成直角三角形,又知圆的半径为根号2
所以夹角的一半的正弦值为
根号2/(2根号2) = 1/2
所以夹角为60°