Question

选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线L：ρsin 2 θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且 tanα=

选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线L：ρsin 2 θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且 tanα= 3 4 ）作平行于 θ= π 4 (ρ∈R) 的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．（I）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；（II）求|BC|的长．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得，点A的直角坐标为（4，3）， 曲线L即 ρ 2  sin 2 θ=2ρcosθ，它的普通方程为：y 2 =2x， 由于直线l的斜率为1，且过点A（4，3），故直线l的普通方程为：y-3=x-4，即y=x-1． （Ⅱ）设B（x 1 ，y 1 ）、C（x 2 ，y 2 ），由 y 2 =2x y=x-1 可得 x 2 -4x+1=0， 由韦达定理得x 1 +x 2 =4，x 1 ?x 2 =1， 由弦长公式得 |BC|= 1+ k 2 | x 1 - x 2 |=2 6 ．