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设f(x)在【0,1】上有二阶导数,f(1)=0,F(x)=x^2f(x),证明在(0,1)内至少存在一点e属于(0,1),使F(e)=0
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证明:
∵f(x)在[0,1]上有二阶导数
∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导
∴F(x)及F'(x)在[0,1]上也连续可导
又f(1)=0
∴F(0)=0*f(0)=0,F(1)=f(1)=0
由罗尔定理知
在(0,1)内至少存在一点ξ,使F'(ξ)=0
又F'(x)=2xf(x)+x²f'(x)
∴F'(0)=0
∴F'(0)=F'(ξ)=0
∴由罗尔定理知
在(0,ξ1),即(0,1)内至少存在一点m,使F''(ξ)=0
证毕
咨询记录 · 回答于2021-11-30
设f(x)在【0,1】上有二阶导数,f(1)=0,F(x)=x^2f(x),证明在(0,1)内至少存在一点e属于(0,1),使F(e)=0
好的,请你等一下我正在计算
下面是使f'(e)=0
首先e≈2.7是大于1的
证明:∵f(x)在[0,1]上有二阶导数∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导∴F(x)及F'(x)在[0,1]上也连续可导又f(1)=0∴F(0)=0*f(0)=0,F(1)=f(1)=0由罗尔定理知在(0,1)内至少存在一点ξ,使F'(ξ)=0又F'(x)=2xf(x)+x²f'(x)∴F'(0)=0∴F'(0)=F'(ξ)=0∴由罗尔定理知在(0,ξ1),即(0,1)内至少存在一点m,使F''(ξ)=0证毕
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