Question

计算不定积分∫cos2x/(sinx+cosx)3*dx

Answer 1

问：计算不定积分∫cos2x/(sinx+cosx)3*dx

答：计算不定积分∫cos2x/(sinx+cosx)^3dx时，可以考虑使用反正切函数的柿子来改写分母中的项，即： ∫cos2x/(sinx+cosx)^3dx = ∫cos2x/(tanx+1)^3dx 然后可以考虑使用反三角函数u=tanx来进行变量转换，并对积分式进行分式化简，得到： ∫cos2x/(tanx+1)^3dx = ∫du/(u+1)^3 = ∫(du/(u+1)^2)/(u+1) 设f(u)=(1/(u+1)^2)，则上式可以表示为： ∫(du/(u+1)^2)/(u+1) = ∫f'(u)/(u+1)du 考虑使用换元法计算积分： ∫f'(u)/(u+1)du = f(u)∫1/(u+1)du ∫1/(u+1)du = ln|u+1|+C 所以上式可以写成： ∫(du/(u+1)^2)/(u+1) = f(u)(ln|u+1|+C) 回到原积分式中，得到： ∫cos2x/(sinx+cosx)^3dx = ∫cos2x/(tanx+1)^3dx = f(tanx)(ln|tanx+1|+C) 可以用反三角函数u=tanx把答案表示为f(tanx)(ln|tanx+1|+C)。注意，积分结果中的常数C是不定积分的常数，在计算过程中不能求值。