Question

2x+y+xy=3,求x+y的最小值

Answer 1

问：2x+y+xy=3,求x+y的最小值

答：# 设xy满足约束条件,1≤x,x+y≥2,y≥3x-6,则z=2x+y最小值 通过设置等式$2x+y=m(x+y)+n(y-3x)$，我们可以求解出$m=1.25$和$n=-0.25$。进一步计算可得$2x+y$的最小值为$2m+(-6)*(-0.25)=4$。 另一种方法是将等式$2x+y=m(x+y)+n(x+y)$进行求解，得到$m=1$和$n=1$。这样，最小值为$m+2n=3$。 比较两种方法，我们可以得出结论：在约束条件$1≤x, x+y≥2, y≥3x-6$下，$2x+y$的最小值为3。此时，$x=y=1$。 【也可以这样考虑】 由于当$y$看作常数时，$z=2x+y$关于$x$单调增加，所以只有当$x$最小时，$z$才可能有最小值。同时，当$x$看作常数时，$z=2x+y$关于$y$单调增加，所以只有当$y$最小时，$z$才可能有最小值。 在约束条件的左下角$(1,1)$和$(2,0)$两点处进行比较，发现在$(1,1)$处，$z=2x+1$有最小值3。