Question

3.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=2,0<x＜1/2,0，其他。求 Y=4X^2-1 的概率密度

Answer 1

问：3.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=2,0

答：我们可以利用变量替换法来求解 Y=4X^2-1 的概率密度。首先，我们将 Y=4X^2-1 变形为 X=sqrt[(Y+1)/4] 或 X=-sqrt[(Y+1)/4]，然后求出 Y 的分布函数 F(Y)：F(Y) = P(Y≤y) = P(4X^2-1≤y)= P(-sqrt[(y+1)/4]≤X≤sqrt[(y+1)/4])= ∫-sqrt[(y+1)/4]^{1/2} f(x) dx= ∫-sqrt[(y+1)/4]^{1/2} 2 dx= 2[x]_{-sqrt[(y+1)/4]}^{1/2}= 2(sqrt[(y+1)/4]-(-sqrt[(y+1)/4]))= 2sqrt[(y+1)/4]然后对 F(Y) 求导数，即可得到 Y 的概率密度 f(Y)：f(Y) = dF(Y)/dY= 1/2sqrt[(y+1)/4]= 1/2sqrt[(y+1)]因此，Y 的概率密度为 f(Y)=1/2sqrt[(y+1)]，0