Question

级数1-1/2+1/3-1/4+L=

Answer 1

问：级数1-1/2+1/3-1/4+L=

答：这是一个著名的级数，被称为“调和级数加交错级数”或者“莱布尼茨级数”。它的求和结果是ln(2)，即：1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln(2)其中ln表示自然对数。这个级数的收敛速度很慢，因此需要相当多的项才能得到较精确的结果。

答：图片打不开，发文字过来

问：设由曲面 z=x^2+y^2 与z=1围成的域,求积分 ∫∫∫_a^xz^2dxdydz

答：首先，我们需要确定积分区域D。从题目中可以看出，该区域是由一个圆锥体和平面z=a (a≤1) 围成的。因此，可以将积分区域表示为：D = {(x, y, z) | x^2 + y^2 ≤ z^2, a ≤ z ≤ 1}接下来，我们可以按照以下方式计算三重积分：∫∫∫_D z^2 dV = ∫∫R dz ∫_(a^2 )^((x^2 + y^2 )^0.5 ) z^2 dx dy其中 R 表示在 xy 平面上的投影区域，即圆形区域。对于内层积分 ∫_(a^2 )^((x^2 + y^2 )^0.5 ) z^2 dx，我们可以使用极坐标变换进行简化，即令：x = r cosθy = r sinθ则有：∫_(a^2 )^((x^2 + y^2 )^0.5 ) z^2 dx = ∫_θ=0^(2π) ∫_r=a^2^(r^2) (r^2 cos^2θ + r^2 sin^2θ) z^2 dr dθ= ∫_θ=0^(2π) ∫_r=a^2^(r^2) r^2 z^2 dr dθ= (1/3)π(z^4 - a^4)因此，我们可以写出原积分的结果为：∫∫∫_D z^2 dV = ∫∫R dz (1/3)π(z^4 - a^4)= (1/3)π∫∫R (z^4 - a^4) dz= (1/3)π∫_0^1 [(z^5)/5 - (a^4 z)] 2πz dz= (1/15)π(1-a^5)因此，原积分的结果为 (1/15)π(1-a^5)。

问：证明方程x3-4x+2=0在区间(1,2)上至少有一个实根.

答：为了证明方程x^3 - 4x + 2 = 0在区间(1,2)上至少有一个实根，我们可以使用零点定理（也称为拉格朗日中值定理）。该定理表明，如果一个连续函数f(x)在区间[a,b]内具有异号的两个端点值f(a)和f(b)，那么它在该区间内至少存在一个实根。因此，我们需要证明方程x^3 - 4x + 2 = 0在区间(1,2)内f(1)和f(2)异号。计算得到：f(1) = (1)^3 - 4(1) + 2 = -1f(2) = (2)^3 - 4(2) + 2 = -2由于f(1)和f(2)异号，我们可以得出结论，方程x^3 - 4x + 2 = 0在区间(1,2)内至少存在一个实根。另外，我们还可以进一步利用导数的知识证明方程在该区间内只有一个实根。对方程进行求导，得到：f'(x) = 3x^2 - 4令f'(x)等于0，解得其唯一实根为x=2/√3。而且，f'(x)在x 2/√3时为负，在x > 2/√3时为正，说明f(x)在x 2/√3单调递减，在x > 2/√3单调递增。因此，方程在区间(1,2)内只有一个实根。