Question

定积分(派~0)sin^2xcos^4

Answer 1

问：定积分(派~0)sin^2xcos^4

问：定积分(派~0)sin^2xcos^4x

答：我们可以利用三角恒等式将sin^2x和cos^4x表示成sin2x和cos2x的函数：sin^2x = (1 - cos2x)/2cos^4x = (cos2x)^2因此，原积分可以被表示成：∫sin^2xcos^4xdx = ∫(1 - cos2x)/2(cos2x)^2 dx进行一些代数运算可得：∫sin^2xcos^4xdx = (1/2)∫(cos2x)^2 - (cos2x)^3 dx对每一项分别进行积分：∫(cos2x)^2 dx = (1/2)∫(1 + cos4x) dx = (1/4)x + (1/8)sin4x + C∫(cos2x)^3 dx = (1/3)∫cos^32xdx = (1/12)sin2x(2 + cos4x) + C因此，∫sin^2xcos^4xdx = (1/2)((1/4)x + (1/8)sin4x - (1/12)sin2x(2 + cos4x)) + C最终结果为：∫sin^2xcos^4xdx = (1/8)x + (1/16)sin4x - (1/24)sin2x(2 + cos4x) + C

答：这是您要的答案和解析 亲

问：我说的是定积分

答：好的 亲

问：定积分(派~0)sin^2xcos^4x，请注意看是定积分

答：首先，可以使用三角恒等式将 $\sin^2 x \cos^4 x$ 转化为 $\frac{1}{8}\cos^2 2x - \frac{1}{32} \cos^4 2x$：$$\begin{aligned}\sin^2 x \cos^4 x &= \sin^2 x (1-\sin^2 x)^2 \\&= \sin^2 x (1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x) \\&= \frac{1}{4}(1 - \cos 2x) (1 - \cos^2 2x) \\&= \frac{1}{4}(\cos^2 2x - \cos^4 2x) \\&= \frac{1}{8} \cos^2 2x - \frac{1}{32}\cos^4 2x\end{aligned}$$那么原积分可以表示为：$$\begin{aligned}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^4 x \text{d}x &= \frac{1}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 2x \text{d}x - \frac{1}{32} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 2x \text{d}x \\&= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{1}{32} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{\pi}{2} \\&= \frac{5\pi}{128}\end{aligned}$$其中，第一个积分的计算可以使用复合函数求导公式：$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \sin x = \cos x, \frac{\text{d}}{\text{d}x} \cos x = -\sin x$。因此，最终结果为 $\frac{5\pi}{128}$。

答：这个是的吗 亲

问：不是

问：你看清楚啊

答：好的亲

答：我们可以使用以下的定积分公式来求解：∫₀²π sin²x cos⁴x dx可以先用倍角公式将sin²x的式子变成(1-cos²x)/2，然后展开cos⁴x得到:∫₀²π (1-cos²x)/2 cos²x cos²x dx化简括号得到：∫₀²π (1/2)cos²x - (1/2)cos⁴x dx接下来我们可以用积分公式将它们一次次积分：∫₀²π (1/2)cos²x dx - ∫₀²π (1/2)cos⁴x dx(1/2)∫₀²π (1 + cos2x)/2 dx - (1/2)∫₀²π (1 + cos2x)*cos2x/2 dx(1/2)×(1/2)([x/2]₀²π + (1/2)∫₀²π cos2xdx) - (1/4)∫₀²π (cos2x + cos⁴x) dx(1/4)(π + (1/2)([sin2x/2]₀²π)) - (1/4)([x/2 + sin2x/8]₀²π)化简之后得到：π/4 - 1/8因此，答案为∫₀²π sin²x cos⁴x dx = π/4 - 1/8

答：您看下这个 符合您的 要求吗 亲