说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与 的列向量组中任 一向量皆正交；进而 的列向量组的极大无关组添加上Ax=0的基础解系仍
然是线性无关的；
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首先，对于齐次线性方程组Ax=0的任意一个解x，有A(αx)=αAx=0，即A乘以任意一个x的常数倍仍然是0，因此Ax=0的解空间是一个线性空间，其中的基础解系是一组线性无关的向量组。
假设基础解系中的任意两个向量x和y都是Ax=0的解，即有Ax=0和Ay=0。则对于任意一个标量α，有A(αx+y)=αAx+Ay=0，即αx+y也是Ax=0的解。因此，基础解系中任意两个向量的线性组合仍然是Ax=0的解，即基础解系是一个线性子空间。
现在考虑基础解系中任意一个向量x和矩阵A的任意一列向量b之间的内积。设A的第j列为aj，则有：
x·aj = (x1, x2, ..., xn)·(a1j, a2j, ..., anj) = a1jx1 + a2jx2 + ... + anjxn
由于x是Ax=0的解，因此有：a1jx1 + a2jx2 + ... + anjxn = 0
即x·aj=0，即x和aj是正交的。因此，基础解系中任意一个向量与矩阵A的任意一列向量都是正交的。
又因为矩阵A的列向量组是线性无关的，因此基础解系中的向量也是线性无关的。
最后，将基础解系中的向量和矩阵A的列向量组合并成一个新的向量组，设为v1, v2, ..., vk, aj1, aj2, ..., ajm，其中v1, v2, ..., vk是基础解系中的向量，aj1, aj2, ..., ajm是矩阵A的线性无关的列向量。
由于基础解系中的向量与矩阵A的列向量都是正交的，因此对于任意一个vi和任意一个ajj，都有vi·ajj=0。因此，新的向量组仍然是线性无关的。
综上所述，基础解系中任意一个向量与矩阵A的任意一列向量都是正交的，且基础解系中的向量是线性无关的。将基础解系中的向量和矩阵A的列向量组合并成一个新的向量组仍然是线性无关的。
咨询记录 · 回答于2023-12-25
然是线性无关的；
假设基础解系中的任意两个向量x和y都是Ax=0的解，即有Ax=0和Ay=0。则对于任意一个标量α，有A(αx+y)=αAx+Ay=0，即αx+y也是Ax=0的解。因此，基础解系中任意两个向量的线性组合仍然是Ax=0的解，即基础解系是一个线性子空间。
现在考虑基础解系中任意一个向量x和矩阵A的任意一列向量b之间的内积。设A的第j列为aj，则有：
x·aj = (x1, x2, ..., xn)·(a1j, a2j, ..., anj) = a1jx1 + a2jx2 + ... + anjxn
由于x是Ax=0的解，因此有：a1jx1 + a2jx2 + ... + anjxn = 0
即x·aj=0，即x和aj是正交的。因此，基础解系中任意一个向量与矩阵A的任意一列向量都是正交的。
又因为矩阵A的列向量组是线性无关的，因此基础解系中的向量也是线性无关的。
最后，将基础解系中的向量和矩阵A的列向量组合并成一个新的向量组，设为v1, v2, ..., vk, aj1, aj2, ..., ajm，其中v1, v2, ..., vk是基础解系中的向量，aj1, aj2, ..., ajm是矩阵A的线性无关的列向量。
由于基础解系中的向量与矩阵A的列向量都是正交的，因此对于任意一个vi和任意一个ajj，都有vi·ajj=0。因此，新的向量组仍然是线性无关的。
综上所述，基础解系中任意一个向量与矩阵A的任意一列向量都是正交的，且基础解系中的向量是线性无关的。将基础解系中的向量和矩阵A的列向量组合并成一个新的向量组仍然是线性无关的。【摘要】
说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与
的列向量组中任
一向量皆正交；进而
的列向量组的极大无关组添加上Ax=0的基础解系仍
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