若向量a=(a1,a2,a3)满足aa'=1(a'为a的转置),E+a'a的特征向量a'对应的特征

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战成秋梵i3

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摘要由Aa=(E+aa')a=a+aa'a=3a，于是得A的特征值入1=3，其对应的特征向量为k1a，k1≠0为常数。又由A=E+aaT，得A-E=aaT，两边取行列式IA-El=aaT=0，由此知入2=1是A的另一个特征值. 再由矩阵A的特征值的性质，trA=入1+入2+λ3=4+λ3，从而λ1=trA-4=3+aTa-4=1.由于λ2=λ3=1，对应的特征矩阵为A-E，由题设条件a=(a1，a2，aз)T≠O，不妨设a1≠O，则al aaz a1a3 a: az a A-E= aza: aza3 0 3La3a azaz a? 00 由此得方程组(A-E)x=0的同解方程组为 a1X1=-a2X2-agX3，解得入2=λ3=1对应的特征向量为x=k₂(-a2，a1，0)T+k3(-a3，0，a1)，其中k2，k3是不同时为零的任意常数.

咨询记录 · 回答于2022-12-17

若向量a=(a1,a2,a3)满足aa'=1(a'为a的转置),E+a'a的特征向量a'对应的特征

好的，谢谢

同学请问可以描述的更具体一点吗

需要求的是谁的要求

第三题

由Aa=(E+aa')a=a+aa'a=3a，于是得A的特征值入1=3，其对应的特征向量为k1a，k1≠0为常数。又由A=E+aaT，得A-E=aaT，两边取行列式IA-El=aaT=0，由此知入2=1是A的另一个特征值. 再由矩阵A的特征值的性质，trA=入1+入2+λ3=4+λ3，从而λ1=trA-4=3+aTa-4=1.由于λ2=λ3=1，对应的特征矩阵为A-E，由题设条件a=(a1，a2，aз)T≠O，不妨设a1≠O，则al aaz a1a3 a: az a A-E= aza: aza3 0 3La3a azaz a? 00 由此得方程组(A-E)x=0的同解方程组为 a1X1=-a2X2-agX3，解得入2=λ3=1对应的特征向量为x=k₂(-a2，a1，0)T+k3(-a3，0，a1)，其中k2，k3是不同时为零的任意常数.

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