Question

五面体涂色,相邻两个面颜色不同,有六种颜色可以选择

Answer 1

问：五面体涂色,相邻两个面颜色不同,有六种颜色可以选择

答：亲，您好。可以这样表示五面体的涂色方案：面1 面2 面3 面4 面5其中，每个格子代表一个面，每个格子可以填入六种颜色中的一种。要求相邻两个面颜色不同，即相邻两个格子填入的颜色不同。 以下是一种合法的涂色方案： 面1 面2 面3 面4 面5--- --- --- --- ---蓝 黄 绿 红 紫紫 蓝 绿 黄 红黄 紫 红 绿 蓝绿 红 黄 紫 蓝红 绿 蓝 黄 紫需要注意的是，这种方案只是一种可能的情况，还可以有其他合法的方案。 希望我的回答能帮助到您，如果对我的服务满意，请给个赞哦，祝您一切顺利！

问：共有多少种涂色方案

答：亲，您好。五面体的每个面都可以涂上6种颜色中的一种，因此总的涂色方案数为 $6^5=7,776$ 种。但是，由于相邻两个面的颜色不能相同，因此实际上有很多方案是不合法的。为了求出合法的涂色方案数，可以采用计数原理。具体地，我们可以分情况讨论：首先，我们可以将五面体的某一个面任意地涂上一种颜色。这样做会使得与这个面相邻的两个面不能涂上这种颜色，因此有 $6\times 5\times 5=150$ 种方案。接下来，我们可以将与刚刚涂上颜色的面不相邻的两个面涂上颜色。这样做会使得与这两个面相邻的另外两个面不能涂上这两种颜色，因此有 $5\times 4\times 4=80$ 种方案。最后，我们可以将与刚刚涂上颜色的面相邻的但是与第二步涂上颜色的两个面都不相邻的另外两个面涂上颜色。这样做会使得与这两个面相邻的另外两个面不能涂上这两种颜色，因此有 $3\times 2\times 2=12$ 种方案。因此，总的合法涂色方案数为 $150\times 80\times 12=144,000$ 种。