Question

1/根号1+x2的积分

Answer 1

要求解根号1+x^2的积分，可以使用换元法进行求解。具体步骤如下：
1、令x=tanθ，那么有dx=sec^2θdθ，同时有1+tan^2θ=sec^2θ。
2、将根号1+x^2中的x用tanθ表示，得到根号1+tan^2θ。
3、将根号1+tan^2θ中的1+tan^2θ用sec^2θ表示，得到secθ。
4、将原积分中的根号1+x^2用得到的secθ替换，得到∫secθsec^2θdθ。
5、化简得到∫1/cosθdθ。
6、将原来的x用tanθ表示，得到x=tanθ，那么有θ=arctanx。
7、将化简后的积分中的θ用x替换，得到∫1/cos（arctanx）dx。
8、根据三角函数关系，有cos（arctanx）=1/√（1+x^2）。
9、将上式代入到原积分中，得到∫√（1+x^2）/1dx。
10、最终得到的积分为arcsinhx+C，其中C为常数。
综上所述，根号1+x^2的积分为arcsinhx+C。
换元法的功能：
换元法是微积分中的一种重要方法，主要用于解决含有复杂函数的积分问题。通过适当地变量替换和代换，可以将原积分转化为更加简单的积分形式，从而更加方便地求解。换元法的一般步骤是先进行变量代换，然后对代换后的积分式进行化简和计算，最后将得到的结果转化回原来的变量。