Question

(2)设 x=-1,0,1.2,1.8 时,f(x)的值为 -3, 0,2,4,试构造f(x)的三次插值多项式

Answer 1

问：(2)设 x=-1,0,1.2,1.8 时,f(x)的值为 -3, 0,2,4,试构造f(x)的三次插值多项式

答：# 根据三次插值公式 假设$f(x)$的三次插值多项式为： $$p(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + a_3(x-x_0)^3$$ # 确定插值节点 根据题目条件，插值节点为$x=-1,0,1.2,1.8$。 # 求解系数$a_0-a_3$ 由于有4个插值节点，所以可以得到4个方程，分别为： $$p(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 = -3$$ $$p(0) = a_0 + a_2 = 0$$ $$p(1.2) = a_0 + 1.2a_1 + 1.44a_2 + 1.728a_3 = 2$$ $$p(1.8) = a_0 + 1.8a_1 + 3.24a_2 + 5.832a_3 = 4$$ # 解方程组得到$a_0-a_3$的值 通过解这个方程组，可以得到： $$a_0 = 0$$ $$a_1 = \frac{3}{8}$$ $$a_2 = -\frac{11}{20}$$ $$a_3 = \frac{5}{56}$$ # 得出$f(x)$的三次插值多项式 因此，$f(x)$的三次插值多项式为： $$p(x) = \frac{3}{8}(x+1) - \frac{11}{20}(x+1)^2 + \frac{5}{56}(x+1)^3 $$ 其中，插值节点为$x=-1,0,1.2,1.8$。