Question

定义域为R的函数f（x）满足当x属于[0,1）时，f（x）=3^x-1，且对任意实数x均有f(x)+f(x+1)=1，则f(log34)= 3为底数

Answer 1

问：定义域为R的函数f（x）满足当x属于[0,1）时，f（x）=3^x-1，且对任意实数x均有f(x)+f(x+1)=1，则f(log34)= 3为底数

答：您好亲亲~~根据题意，对任意实数x，都有 f(x) + f(x+1) = 1。因此，我们可以考虑将区间 [0,1) 沿着整数点划分成若干个子区间 [n,n+1)，其中 n 是整数，然后在每个子区间上分别进行讨论。具体地：当 x ∈ [0,1) 时，由定义可知：f(x) = 3^x - 1。当 x ∈ [1,2) 时，由 f(x) + f(x+1) = 1 可知：f(x+1) = 1 - f(x) = 1 - (3^x - 1) = 2 - 3^x。因此，对于任意的 x ∈ [1,2)，我们有：f(x) = 2 - f(x+1) = 1 - 2 + 3^x = 3^x - 2。类似地，我们可以得到：当 x ∈ [2,3) 时， f(x) = 2 - f(x+1) = 3^x - 3。当 x ∈ [3,4) 时， f(x) = 2 - f(x+1) = 3^x - 6。因此，我们得到了函数 f(x) 在区间 [0,4) 上的完整定义。接下来，我们可以利用这个定义求出 f(log3 4) 的值。注意到 log3 4 属于区间 [1,2)，因此：f(log3 4) = 3^{log3 4} - 1 = 4 - 1 = 3。因此，f(log3 4) 的值为 3。