Question

已知曲线y=f(x)经过点M(0,1),且在此点与直线y=x/2+1相切, 在任意点处有y^n=x, 求该曲线的方程

Answer 1

问：已知曲线y=f(x)经过点M(0,1),且在此点与直线y=x/2+1相切, 在任意点处有y^n=x, 求该曲线的方程

答：亲，您好！我为您找到答案回来啦，正解如下哦：已知曲线y=f(x)经过点M(0,1),且在此点与直线y=x/2+1相切, 在任意点处有y^n=x,方程如下：根据题意，曲线 $y=f(x)$ 经过点 $M(0,1)$，并且在此点与直线 $y=x/2+1$ 相切，因此可以列出以下两条方程：$$\begin{cases}f(0) = 1 \\f'(0) = \dfrac{1}{2}\end{cases}$$又已知在任意点处有 $y^n = x$，所以 $y = x^{1/n}$。因为 $y=f(x)$ 是一条曲线，所以有 $y=f(x^{1/n})$。于是可以计算出 $f(x)$ 的导数为：$$\frac{d}{dx}f(x^{1/n}) = \frac{d}{du}f(u) \cdot \frac{d}{dx}x^{1/n} = \frac{f'(u)}{n x^{\frac{n-1}{n}}} = \frac{f'(x^{1/n})}{n x^{\frac{n-1}{n}}}$$其中 $u=x^{1/n}$，$u$ 对 $x$ 的导数为 $x^{\frac{1}{n}-1}$。因为在点 $M$ 处，$f'(0) = \frac{1}{2}$，所以：$$\frac{f'(0)}{n \cdot 0^{\frac{n-1}{n}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow n=2$$有了 $n=2$ 的结果，我们可以根据题目中的 $y^n=x$ 计算出该曲线的方程。将 $n=2$ 代入 $y^n=x$ 得到 $y^2 = x$，所以 $y = \pm \sqrt{x}$。由于题目中没有给出曲线的范围，所以我们要考虑两种情况。- 当 $y = \sqrt{x}$ 时，曲线的范围为 $[0,+\infty)$。由于 $f(0) = 1$，所以有 $f(x) = \sqrt{x}$。- 当 $y = -\sqrt{x}$ 时，曲线的范围为 $(-\infty, 0]$。曲线经过点 $M(0,1)$，所以可以设 $f(x) = -\sqrt{|x|}$。所以，该曲线的方程为 $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & x \ge 0 \\ -\sqrt{|x|} & x < 0 \e

答：相关拓展：本题涉及到的数学概念包括函数、导数、曲线方程、切线、点与直线的关系等内容。这些概念都是数学中比较基础的知识点，掌握它们可以为接下来更深层次的数学学习铺平道路。在数学中，曲线的方程是研究曲线和其性质的重要工具之一。除了本题涉及到的函数方程，还有参数方程和极坐标方程等曲线方程形式。在实际应用中，曲线方程不仅可以用于对曲线的描述和分析，还可以用于进行图像绘制和计算机图形学等领域。同时，导数和切线也是数学中非常重要的概念。导数是函数在某点处的斜率，可以描述函数变化的快慢和方向，因此是微积分和高等数学的核心概念之一。而切线是指曲线在某点处与该点处的切点重合的直线，可以用于描述曲线在该点处的近似情况。总之，数学中的概念和方法是相互联系的，学习一个概念时，也要注意它们之间的联系和应用。只有建立扎实的数学基础，并且能够将数学知识应用于实际问题中，才能在更高层次的学习中持续进步和探索。