空间中两直线的距离公式

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不执念于过往
2023-07-11 · TA获得超过2537个赞
知道小有建树答主
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两条不平行的直线之间的距离可以通过向量叉积来计算。假设我们有两个向量 a 和 b,表示两条直线上的任意点,这两个向量定义一个平面。这个平面的法向量可以通过叉积 a × b 得到,其大小表示单位长度内平面上的面积,因此我们可以通过两个向量的叉积的大小来计算两条直线之间的距离。
具体来说,设两条直线的方向向量分别为 u 和 v,它们的起点分别为 A 和 B,则经过 A 的直线可以表示为 {A + λu | λ ∈ R},经过 B 的直线可以表示为 {B + μv | μ ∈ R}。现在我们需要找到两条直线之间最短的距离 d。因为 d 落在 u 和 v 确定的平面上,所以我们可以通过求平面法向量与任意一条直线上的向量的点积得到 d 的长度:
d = |(A - B)·(u × v)| / |u × v|
其中 |·| 表示向量的长度,· 表示向量的点积,× 表示向量的叉积。注意到对于向量 x 和 y,有 x·y = y·x,但是对于叉积,有 x×y = -y×x,所以上式中写成 u×v 而不是 v×u 也是有原因的。此外,我们需要确保 u 和 v 不共线(即 u×v ≠ 0),否则 u 和 v 确定的平面不存在,也就无法求两条直线之间的距离。
需要注意的是,如果两条直线平行,则它们之间的距离为任意一个直线上的点到另一个直线的距离,可以通过将其中一个直线上的任意点代入上述公式得到。
综上所述,对于任意两条不平行直线,我们可以使用向量叉积公式求解它们之间的距离。公式中需要的是两条直线的方向向量和一个起点,如果只给出了两条直线上的点,需要用点减法得到它们的方向向量。

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