Question

设A为n维线性空间V的线性变换，设e1,e2,...,er为A（V）的一组基，设A（a1）=e1，A（a2）=e2，...，A（ar）=er，且设b1,b2,...,bs为A^-1(0)的一组基，求证：a1,a2,...,ar,b1,b2,...,bs为V的一组基

Answer 1

问：设A为n维线性空间V的线性变换，设e1,e2,...,er为A（V）的一组基，设A（a1）=e1，A（a2）=e2，...，A（ar）=er，且设b1,b2,...,bs为A^-1(0)的一组基，求证：a1,a2,...,ar,b1,b2,...,bs为V的一组基

答：亲，您好，很高兴为您解答：设A为n维线性空间V的线性变换，设e1,e2,...,er为A（V）的一组基，设A（a1）=e1，A（a2）=e2，...，A（ar）=er，且设b1,b2,...,bs为A^-1(0)的一组基，求证：a1,a2,...,ar,b1,b2,...,bs为V的一组基首先，我们需要证明$a_1,a_2,...,a_r,b_1,b_2,...,b_s$是线性无关的哦。假设存在一组不全为零的标量$c_1,c_2,...,c_r,d_1,d_2,...,d_s$，使得$$c_1a_1+c_2a_2+...+c_ra_r+d_1b_1+d_2b_2+...+d_sb_s=0$$我们需要证明$c_1=c_2=...=c_r=d_1=d_2=...=d_s=0$。对于任意的向量$v\in V$，我们有：$$A(v)=A(c_1a_1+c_2a_2+...+c_ra_r+d_1b_1+d_2b_2+...+d_sb_s)$$$$=c_1A(a_1)+c_2A(a_2)+...+c_rA(a_r)+d_1A(b_1)+d_2A(b_2)+...+d_sA(b_s)$$$$=c_1e_1+c_2e_2+...+c_re_r+0+0+...+0$$因为$e_1,e_2,...,e_r$是$A(V)$的一组基，所以$c_1=c_2=...=c_r=0$。又因为$b_1,b_2,...,b_s$是$A^{-1}(0)$的一组基，所以$A(b_1)=A(b_2)=...=A(b_s)=0$。因此，$d_1b_1+d_2b_2+...+d_sb_s=0$，又因为$b_1,b_2,...,b_s$线性无关，所以$d_1=d_2=...=d_s=0$。因此，$a_1,a_2,...,a_r,b_1,b_2,...,b_s$是线性无关的哦。接下来，我们需要证明$a_1,a_2,...,a_r,b_1,b_2,...,b_s$张成$V$。对于任意的向量$v\in V$，我们有：$$v=A(A^{-1}(v))$$因为$b_1,b_2,...,b_s$是$A^{-1}(0)$的一组基，所以$v$可以表示为：$$v=A(A^{-1}(v))=A(d_1b_1+d_2b_2+...+d_sb_s)=d_

问：这个第一题

问：发图片过来，信息有些符号不显示

问：人呢

答：由题意可知，$\sigma(\alpha_1)=\xi_1,\sigma(\alpha_2)=\xi_2,\cdots,\sigma(\alpha_n)=\xi_n$，且$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$是$\sigma_0$的基。我们需要证明的是$a,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,b,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$是$V$的一组基。首先，我们证明这组向量是线性无关的。假设存在一组不全为零的标量$c_1,c_2,\cdots,c_{2n}$，使得$$c_1a+c_2\alpha_1+c_3\alpha_2+\cdots+c_{n+1}\alpha_n+c_{n+2}b+c_{n+3}\beta_1+c_{n+4}\beta_2+\cdots+c_{2n}\beta_n=0$$我们需要证明$c_1=c_2=\cdots=c_{2n}=0$。对于上式两边同时作用$\sigma$，得到$$c_1\sigma(a)+c_2\sigma(\alpha_1)+c_3\sigma(\alpha_2)+\cdots+c_{n+1}\sigma(\alpha_n)+c_{n+2}\sigma(b)+c_{n+3}\sigma(\beta_1)+c_{n+4}\sigma(\beta_2)+\cdots+c_{2n}\sigma(\beta_n)=0$$由于$\sigma(\alpha_i)=\xi_i$，$\sigma(\beta_i)=\beta_i$，$\sigma(a)=5$，$\sigma(b)=\xi$，代入上式得到$$c_1\cdot5+c_2\xi_1+c_3\xi_2+\cdots+c_{n+1}\xi_n+c_{n+2}\xi+c_{n+3}\beta_1+c_{n+4}\beta_2+\cdots+c_{2n}\beta_n=0$$由于$a,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,b,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$线性无关，因此$c_1=c_2=\cdots=c_{2n}=0$，证毕。其次，我们需要证明这组向量是张成$V$的。对于任意一个向量$v\in V$，我们可以将其表示为$