Question

3.曲线+x=t+,y=-t^2+,z=t^3+在+t=-1+处的切线方程为什么

Answer 1

问：3.曲线+x=t+,y=-t^2+,z=t^3+在+t=-1+处的切线方程为什么

答：为您作答：要找出曲线在$t=-1$处的切线方程，可以首先计算该点在曲线上的坐标。给定曲线的参数方程为$x=t$，$y=-t^2$，$z=t^3$。将$t=-1$代入参数方程，可以得到该点的坐标$(x,y,z) = (-1, -1, -1)$。接下来，需要计算曲线在该点的切向量。切向量可以通过求参数方程的导数来获得。对于$x=t$，$y=-t^2$，$z=t^3$，分别对$t$求导，得到：$\frac{dx}{dt} = 1$，$\frac{dy}{dt} = -2t$，$\frac{dz}{dt} = 3t^2$。将$t=-1$代入上述导数，得到切向量的值为：$\left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right) = (1, 2, 3)$。现在，已经得到了曲线在$t=-1$处的切向量。切向量与切线共线，因此切线方程的法向量就是切向量。切线方程的一般形式为$ax + by + cz + d = 0$，其中$(a, b, c)$为法向量。

答：根据切向量(1, 2, 3)(1,2,3)，我们可以得到切线方程为：1x + 2y + 3z + d = 01x+2y+3z+d=0。为了确定dd的值，我们将切点的坐标代入切线方程：1(-1) + 2(-1) + 3(-1) + d = 01(−1)+2(−1)+3(−1)+d=0。解这个方程，我们可以求得d = 4d=4。将d=4d=4代入切线方程，最终得到曲线在t=-1t=−1处的切线方程为：x + 2y + 3z + 4 = 0x+2y+3z+4=0。