Question

求解初值问题(1+e^-x/y)ydx=(x-y)dy+,+y(0)=1

Answer 1

问：求解初值问题(1+e^-x/y)ydx=(x-y)dy+,+y(0)=1

答：这是一个一阶非齐次常微分方程的初值问题，可以使用变量分离法进行求解。 将方程化为标准形式： $\frac{dy}{dx} + \frac{y-x}{1+e^{-x/y}} = 0$ 对该式进行变量分离： $\frac{1+e^{-x/y}}{y} dy = \frac{x-y}{1+e^{-x/y}} dx$ 两边同时积分得： $\int \frac{1+e^{-x/y}}{y} dy = \int \frac{x-y}{1+e^{-x/y}} dx$ 对左侧进行积分： $y + \ln|y| = x - y\ln|1+e^{-x/y}| + C_1$ 其中 $C_1$ 为常数。 对右侧进行积分则需要做一些特殊处理，将分母含有 $x$ 和 $y$ 的项拆开，并进行换元： 令 $u = -x/y$，则 $dx = -y du - x/y^2 dy$ 将上式代入原式得： $-(1+e^u)du/y^2 = -(u+e^u)/(1+e^u) du$ 对其进行积分： $\int \frac{1+e^u}{y^2} du = \int \frac{u+e^u}{1+e^u} du$ 对左侧进行积分： $-e^u/y^2 + u/y^2 + \ln|1+e^u|/y + C_2$ 其中 $C_2$ 为常数。 将 $u$ 还原为原式中的自变量 $x/y$，则有： $-e^{-x/y}/y^2 + x/(y^2(1+e^{-x/y})) + \ln|1+e^{-x/y}|/y + C_2$ 将该式代入原式中，得到完整的通解： $y + \ln|y| = x - y\ln|1+e^{-x/y}| - e^{-x/y}/y^2 + x/(y^2(1+e^{-x/y})) + \ln|1+e^{-x/y}|/y + C$ 其中 $C$ 为积分常数。 根据初值条件 $y(0)=1$，可以求出 $C=ln2-1$。将其代入通解式即可得到特解。最终的特解为： $y + \ln|y| = x - y\ln|1+e^{-x/y}| - e^{-x/y}/y^2 + x/(y^2(1+e^{-x/y})) + \ln|1+e^{-x/y}|/y + ln2 - 1$ 化简后可得： $y = e^{(x-ln2)/2}$