Question

2.求微分方程+y'+2xy=4x+在初始条件+y|_(x=0)=3+下的特解.

Answer 1

问：2.求微分方程+y'+2xy=4x+在初始条件+y|_(x=0)=3+下的特解.

答：要求微分方程的特解，我们可以使用求解一阶线性微分方程的方法。首先，将给定的微分方程形式转化为标准形式：y' + 2xy = 4x观察到方程具有形如 y' + P(x)y = Q(x) 的标准形式，其中 P(x) = 2x，Q(x) = 4x。现在我们可以使用常数变易法来求解该微分方程。设通解为 y = u(x)v(x)，其中 u(x) 是待定函数，v(x) 是已知的指数函数。根据常数变易法的步骤，将 y' 和 y 代入原方程，得到：u'(x)v(x) + u(x)v'(x) + 2xu(x)v(x) = 4x接下来，我们需要选择一个适当的 v(x) ，使得方程变为一个可分离变量的方程。由于 P(x) = 2x，我们选择 v(x) = e^(∫P(x)dx) = e^(∫2xdx) = e^(x^2)。将 v(x) 的值代入上述方程，得到：u'(x)e^(x^2) + 2xu(x)e^(x^2) + u(x)(2xe^(x^2)) = 4x化简可得：u'(x)e^(x^2) + 2xu(x)e^(x^2) + 2xu(x)e^(x^2) = 4x合并相同项后得到：u'(x)e^(x^2) + 4xu(x)e^(x^2) = 4x接下来，对上述方程进行分离变量，并且分母 e^(x^2) 不等于零：u'(x) + 4xu(x) = 4x * e^(-x^2)接下来，我们需要求解这个分离变量后的方程。使用积分因子的方法，令 μ(x) = e^(∫4xdx) = e^(2x^2)，则有：u(x) = ∫[4x * e^(-x^2) * e^(2x^2)]dx进行积分操作后，得到：u(x) = ∫4x dx = 2x^2 + C1其中，C1 是常数。所以特解为：y = u(x)v(x) = (2x^2 + C1) * e^(x^2)根据初始条件 y|_(x=0) = 3，代入初始条件可以求出常数 C1：3 = (2(0)^2 + C1) * e^((0)^2)3 = C1因此，特解为：y = (2x^2 + 3) * e^(x^2)这就是满足给定初始条件的微分方程的特解。