Question

索洛模型中y对s的弹性推导

Answer 1

问：索洛模型中y对s的弹性推导

答：亲，你好，索洛模型中y对s的弹性可以通过求解索洛模型的雅可比矩阵得到。ju.ti地，假设y表示产出水平，s表示储蓄率，则雅可比矩阵为：J = [∂f1/∂y ∂f1/∂s] [∂f2/∂y ∂f2/∂s]其中f1表示资本积累方程，f2表示产出市场清算方程。则y对s的弹性即为J的第二列元素与y/s的比值，即：εys = (∂f1/∂s * y/f1) + (∂f2/∂s * y/f2)经过简单的代数变换后，我们可以得到：εys = β(s/g) * (1 - α)其中β为生产函数中的比例参数，g为人口增长率，α为资本收益率。该式子表明，y对s的弹性是由β、g和α三个因素共同决定的。

答：1. 索洛模型是一种基于凯恩斯主义思想的宏观经济模型，用于分析经济增长和投资决策等问题。2. 雅可比矩阵是一种用于描述多元函数微分的矩阵，它在经济学和数学等领域中都有广泛的应用。3. 弹性是指某个变量对另一个变量的相对变化程度，它在经济学中常用于衡量市场的敏感度和稳定性。4. 索洛模型中的资本积累方程和产出市场清算方程分别描述了储蓄、投资和产出之间的关系，是该模型的核心部分。5. 索洛模型假设人口增长率、技术进步率和资本收益率等参数都是固定的，这在实际应用中可能存在一定的局限性哦。

问：在具有技术进步的新古典增长模型中 求平衡增长路径y对储蓄率s的弹性

问：而且您的推导 具体的过程也没有给出来 能不能劳烦先生把过程具体的写出来呢

答：你好，平衡增长路径y对储蓄率s的弹性可以通过新古典增长模型中的生产函数和家庭效用函数来推导。我们知道，在新古典增长模型中，生产函数为：$$Y=AK^{\alpha}(HL)^{1-\alpha}$$其中，Y表示产出，K表示资本，H表示劳动，L表示土地，A表示技术水平，α表示资本在生产中的比重，(1-α)表示劳动和土地在生产中的比重。

答：家庭效用函数为：$$U(c_t, h_t)=\frac{c_t^{1-\theta}-1}{1-\theta}+\psi\ln(1-h_t)$$其中，ct表示消费，ht表示劳动供应，θ表示边际效用递减的程度，ψ表示时间的效用。家庭的预算约束为：$$c_t+(1+s)k_{t+1}=w_th_t+r_tk_t$$其中，wt表示劳动的工资，rt表示资本的收益率，kt表示当期储蓄，kt+1表示下一期的储蓄。根据这些假设条件，我们可以得到新古典增长模型的长期稳态增长率为：$$g=\frac{\alpha A^{\frac{1}{1-\alpha}}}{1+n}$$其中，n表示人口增长率，代表了劳动力的增长率。然后，我们对平衡增长路径y对储蓄率s的弹性进行推导。假设我们要求y关于s的弹性，可以通过以下公式得出：$$\epsilon=\frac{\partial\ln y}{\partial\ln s}=\frac{\partial\ln y}{\partial\ln k}\times\frac{\partial\ln k}{\partial\ln s}$$其中，k表示资本存量。由生产函数可知，$$\frac{\partial\ln y}{\partial\ln k}=\alpha$$而根据家庭预算约束条件，$$s=\frac{k_{t+1}}{w_th_t+r_tk_t}$$所以，$$\frac{\partial\ln k}{\partial\ln s}=\frac{\partial\ln(w_th_t+r_tk_t)}{\partial\ln(k_{t+1})}=-\frac{1}{1+s}$$于是，将两个式子代入到弹性公式中，得到：$$\epsilon=\frac{\partial\ln y}{\partial\ln s}=\alpha\times-\frac{1}{1+s}=-\frac{\alpha}{1+s}$$于是，平衡增长路径y对储蓄率s的弹性为负数，即当储蓄率上升时，经济增长率会下降。

问：不是能不能用数学符号进行解释？这样子的符号 看不懂啊

答：具有技术进步的新古典增长模型中，平衡增长路径y对储蓄率s的弹性可以通过以下步骤推导：1. 根据新古典增长模型中的投入产出关系式：Y = F(K, AL)，其中Y表示总产出，K表示资本存量，L表示劳动力，A表示全要素生产率，F表示生产函数。2. 假设资本存量和劳动力数量以相同的比例增长，即K/L保持不变。3. 将生产函数进行柯布-道格拉斯生产函数形式转换：Y/L = F(K/L, A)。4. 对上式两边同时取对数，并对K/L进行一次求导，得到：ln(Y/L) = α ln(K/L) + (1-α) ln(A)；5. 假设家庭的消费函数为C = (1-s)Y，其中s为储蓄率，1-s为消费率。6. 将C代入国民收入等于国民消费和国民储蓄之和的恒等式中，得到：Y = C + I = (1-s)Y +I，其中I为投资。7. 整理上式，得到投资与产出的关系式：I/Y = s/(1-s)8. 将第7步中的式子代入第4步中的式子中，得到：ln(Y/L) = α ln(K/L) + (1-α) ln(A) - ln(1-s) + ln(s)9. 对第8步中的式子进行求导，得到：dy/ds = y/(1-s)于是，平衡增长路径y对储蓄率s的弹性为y/(1-s)。当然，这个结果是建立在新古典增长模型的假设条件下得出的。