Question

证明X∧4+4Y∧4=Z²没有正整数解

Answer 1

问：证明X∧4+4Y∧4=Z²没有正整数解

答：为了证明方程 X∧4+4Y∧4=Z² 没有正整数解，我们可以使用无限递降法（infinite descent）。 假设 X、Y 和 Z 是方程的一组正整数解，并且它们互素。这意味着 Z 一定是偶数，因为如果 Z 是奇数，那么 Z² 是奇数，而 X∧4+4Y∧4 是偶数，这与方程的左边和右边具有相同的奇偶性不符。 我们注意到，X∧4 和 4Y∧4 具有相同的奇偶性，因此它们的和 X∧4+4Y∧4 也是偶数。由于 Z² 是偶数，因此 Z 也是偶数，我们可以将 Z 表示为 2K（K 为正整数）。 将 Z 替换为 2K，我们可以得到等式：X∧4+4Y∧4=4K² 简化该等式，可以得到：X∧4/4+Y∧4=K²

答：这表明：如果 (X, Y, Z) 是方程的一组正整数解，那么 (X/2, Y/2, K) 也是方程的一组正整数解。 但是，这意味着我们可以通过重复这个过程来找到具有相同形式的一组非常小的正整数解，这与我们一开始的假设矛盾。 因此，方程 X∧4 + 4Y∧4 = Z² 没有正整数解。 这个证明使用了无限递降法，该方法是一种常用的证明技巧，用于证明类似于“某个方程没有正整数解”等结论。