高等数学向量代数与空间几何习题
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亲亲，您好。很高兴为您解答
：首先，我们需要求出点P在平面上的投影点Q。设Q的坐标为(�,�,�)(a,b,c)，则点P到平面�+2�+2�=2x+2y+2z=2的距离�(�,�)=∣�+2�+2�−2∣12+22+22=∣�+2�+2�−2∣3d(P,Q)=1 2 +2 2 +2 2∣a+2b+2c−2∣ = 3∣a+2b+2c−2∣ 。由于P是锥面S上的点，因此它的坐标(�cos�,�sin�,�)(rcosθ,rsinθ,y)必须满足方程4+�+4�=�cos2�+sin2�+14+r+4y=r cos θ+sin 2 θ+1 ，即4+�+4�=�24+r+4y=r 2 。将S的方程展开可4+�(4+�2+�2+�2)−��=04+y(4+ x 2 +y 2 +z 2 )−zr=0。将P的坐标代入该方程，可得�=225,�=arccos13,�=52r=2 52 ,θ=arccos 31 ,y= 5 22 。得到点P的坐标为(225cos�6,225sin�6,252)=(225,25,252)(2 52 cos 6π ,2 52sin 6π , 522 )=( 5 22 , 52 , 522 )。
：首先，我们需要求出点P在平面上的投影点Q。设Q的坐标为(�,�,�)(a,b,c)，则点P到平面�+2�+2�=2x+2y+2z=2的距离�(�,�)=∣�+2�+2�−2∣12+22+22=∣�+2�+2�−2∣3d(P,Q)=1 2 +2 2 +2 2∣a+2b+2c−2∣ = 3∣a+2b+2c−2∣ 。由于P是锥面S上的点，因此它的坐标(�cos�,�sin�,�)(rcosθ,rsinθ,y)必须满足方程4+�+4�=�cos2�+sin2�+14+r+4y=r cos θ+sin 2 θ+1 ，即4+�+4�=�24+r+4y=r 2 。将S的方程展开可4+�(4+�2+�2+�2)−��=04+y(4+ x 2 +y 2 +z 2 )−zr=0。将P的坐标代入该方程，可得�=225,�=arccos13,�=52r=2 52 ,θ=arccos 31 ,y= 5 22 。得到点P的坐标为(225cos�6,225sin�6,252)=(225,25,252)(2 52 cos 6π ,2 52sin 6π , 522 )=( 5 22 , 52 , 522 )。
咨询记录 · 回答于2023-06-20
高等数学向量代数与空间几何习题
亲亲，您好。很高兴为您解答：首先，我们需要求出点P在平面上的投影点Q。设Q的坐标为(�,�,�)(a,b,c)，则点P到平面�+2�+2�=2x+2y+2z=2的距离�(�,�)=∣�+2�+2�−2∣12+22+22=∣�+2�+2�−2∣3d(P,Q)=1 2 +2 2 +2 2∣a+2b+2c−2∣ = 3∣a+2b+2c−2∣ 。由于P是锥面S上的点，因此它的坐标(�cos�,�sin�,�)(rcosθ,rsinθ,y)必须满足方程4+�+4�=�cos2�+sin2�+14+r+4y=r cos θ+sin 2 θ+1 ，即4+�+4�=�24+r+4y=r 2 。将S的方程展开可4+�(4+�2+�2+�2)−��=04+y(4+ x 2 +y 2 +z 2 )−zr=0。将P的坐标代入该方程，可得�=225,�=arccos13,�=52r=2 52 ,θ=arccos 31 ,y= 5 22 。得到点P的坐标为(225cos�6,225sin�6,252)=(225,25,252)(2 52 cos 6π ,2 52sin 6π , 522 )=( 5 22 , 52 , 522 )。
：首先，我们需要求出点P在平面上的投影点Q。设Q的坐标为(�,�,�)(a,b,c)，则点P到平面�+2�+2�=2x+2y+2z=2的距离�(�,�)=∣�+2�+2�−2∣12+22+22=∣�+2�+2�−2∣3d(P,Q)=1 2 +2 2 +2 2∣a+2b+2c−2∣ = 3∣a+2b+2c−2∣ 。由于P是锥面S上的点，因此它的坐标(�cos�,�sin�,�)(rcosθ,rsinθ,y)必须满足方程4+�+4�=�cos2�+sin2�+14+r+4y=r cos θ+sin 2 θ+1 ，即4+�+4�=�24+r+4y=r 2 。将S的方程展开可4+�(4+�2+�2+�2)−��=04+y(4+ x 2 +y 2 +z 2 )−zr=0。将P的坐标代入该方程，可得�=225,�=arccos13,�=52r=2 52 ,θ=arccos 31 ,y= 5 22 。得到点P的坐标为(225cos�6,225sin�6,252)=(225,25,252)(2 52 cos 6π ,2 52sin 6π , 522 )=( 5 22 , 52 , 522 )。
要求Q电坐标
切点Q的分量之和为��+��+��=2��−2��+2��−2��+2��−2��=825−825+225−1825+452−825+252−425+252−425=−26225Q x +Q y +Q z =2P x −2O x +2P y −2O y +2P z −2O z = 582 − 582 + 522 − 518 2+ 524 − 58 2 + 5 22 − 54 2 + 5 2 2 − 542 = − 2526 2 。
等于-25262
？，认真的吗
我们已经求出了切点Q到平面$x+2y+2z=2$的距离$d(P,Q)=\frac{|a+2b+2c-2|}{3}$，其中 $a,b,c$ 分别为点 Q 的坐标。因为平面$x+2y+2z=2$的方程为 $x+2y+2z-2=0$，所以有$$d(P,Q)=\frac{|a+2b+2c-2|}{3}=\frac{|a+2b+2c-2|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{|a+2b+2c-2|}{3}=\frac{|(a-2)+2(b-1)+2(c-1)|}{3}.$$由于点 Q 相对于平面$x+2y+2z=2$的投影点为$Q'=(a,b,c)$，所以 $\vec{QQ'}$ 垂直于平面$x+2y+2z=2$ 的法向量 $\vec{n}=(1,2,2)$，即有：$$(Q_x-2)+(2Q_y-2)+(2Q_z-2)=0.$$所以有：\begin{align*}Q_x+2Q_y+2Q_z&=2(Q_x+Q_y+Q_z)-2=(2Q_x-4)+(4Q_y-2)+(4Q_z-2)\\&=2(a-2)+4(b-1)+4(c-1)\\&=2a+4b+4c-14\end{align*}综上可得 $a+2b+2c=Q_x+2Q_y+2Q_z+14$。又因为点 Q 在锥面 $S$ 上，且 $S$ 的方程为$4+y(4+\sqrt{x^2+y^2+z^2})-zr=0$，所以有：$$4+y(4+\sqrt{a^2+b^2+c^2})-zr=0.$$将 $r=2\sqrt{2/5}$，$a+2b+2c=Q_x+2Q_y+2Q_z+14$ 代入上式得：$$4+y\left(4+\sqrt{a^2+b^2+c^2}\right)-zr=4+y\left(4+\sqrt{a^2+b^2+c^2}\right)-4\sqrt{\frac{2}{5}}z=0.$$解得 $z=\frac{5}{8}$，带入上述两个方程求解可得 $Q=(a,b,c)=\left(\frac{25-9\sqrt{2}}{10},-\frac{9\sqrt{2}}{10},\frac{5}{8}\right)$。
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