Question

f（x）＝2/3*x三次方，x≤1。X²，X＞1。则f（x）在X＝1处左右导数存在吗 在求左导数的时候 为什么不能直接带入1求极限

Answer 1

问：f（x）＝2/3*x三次方，x≤1。X²，X＞1。则f（x）在X＝1处左右导数存在吗 在求左导数的时候 为什么不能直接带入1求极限

答：您好，很高兴为您解答，f（x）＝ * 当 x≤1 时，f(x)=2/3*x三次方 * 当 x＞1 时，f(x)=X² 则 f（x）在 X＝1 处左右导数存在吗？在求左导数的时候，为什么不能直接带入 1 求极限？ 根据函数 f(x) 的定义，在 x≤1 时，f(x)=2/3*x^3，当 x>1 时，f(x)=x^2。 1. 在 x=1 处，f(x) 的左导数和右导数是否存在？ ** 左导数：** 当 x→1^- 时，f(x)=2/3*x^3，于是左导数为：f'(1^-)=lim x→1^- (2/3*x^2)=2 ** 右导数：** 当 x→1^+ 时，f(x)=x^2，于是右导数为：f'(1^+)=lim x→1^+ (2*x)=2 由上可知，在 x=1 处，f(x) 的左导数和右导数都存在，均为 2。 2. 为什么不能直接将 1 带入原函数中求极限？ 这是因为 f(x) 在 x=1 处不可导，具有间断点。当 x≤1 时，f(x)=2/3*x^3，当 x>1 时，f(x) 为 x^2，两式的导数不同。所以无法直接将 1 带入任一原函数中求导数，这会导致误判 f(x) 在 x=1 处的可导性。正确的方法是采用左导数和右导数分别求极限的方式。根据左右极限值是否存在及是否相等，判断函数在该点是否可导及导数的值。 综上，f(x) 在 x=1 处具有间断点，不可直接求导数。但其左导数和右导数都存在，且相等，所以 f(x) 在 x=1 处可导，导数值为 2。 希望上述分析能帮助您理解函数在间断点处的导数求取方法。如有其他问题，请继续提出讨论。

问：怎么判断的在X＝1的时候不可导

答：您好，根据函数f(x)=2/3*x^3(x≤1)和f(x)=x^2(x>1)的定义，我们可以判断它在x=1处不可导的原因如下： 1. 函数f(x)在x=1处存在间断点。当x≤1时，f(x)=2/3*x^3; 当x>1时，f(x)=x^2。两函数的表达式在x=1处发生突变，所以在此点不可导。 2. 函数f(x)的左导数和右导数在x=1处虽然都存在，但两导数的值不同。左导数f'(1^-)=lim x→1^- (2/3*x^2)=2，右导数f'(1^+)=lim x→1^+ (2*x)=2。左右导数虽然都存在，但两值不相等，所以函数f(x)在x=1处不可导。 3. 如果函数f(x)在x=1处可导，则根据导数的定义，在该点周围的微小区间内，函数值的增量可由导数值和自变量的增量的乘积来逼近。但对于此函数来说，当取x=1-ε时，函数值的增量为2/3*ε^2;而当取x=1+ε时，函数值的增量为2*ε。两增量的表达形式不同，所以无法在x=1处找到一个相同的导数值。这也是函数f(x)在该点不可导的原因。 4. 图形上也可以解释：当x>1时，函数图像变为二次曲线。两图形在x=1处会突变，所以该点处斜率不存在，不可导。 综上，从函数表达式的变化、左右导数值的不同、增量表达的不一致以及图象的突变四个方面可以判断，函数f(x)在x=1处不可导。 希望上述解释能够清楚地说明函数在间断点处不可导的判断理由和方法。如仍有疑问，请继续提出来讨论。

问：可以直接带入求极限的条件有哪些

答：您好，可以直接带入求极限的条件如下： 1. 函数在该点及邻域是连续的，没有间断和突变。 2. 函数在该点及邻域保持同一表达式形式，表达式中不含绝对值等有界但不连续的项。 3. 函数在该点及邻域是光滑的，有定义的一阶导数。 4. 函数表达式中不存在诸如分数或根号等有界但可能发生跳跃的项。 5. 函数图象在该点及邻域是平滑连续的，没有突变或断裂。 当函数满足上述条件，可直接将变量值代入函数表达式中求导数极限，否则应采用左右导数的方法判断该点的可导性及求导数。 综上，f(x)在x=1处因表达式变化而不满足直接求导数的条件。应采用左右导数的方法判断可导及求导数值。满足一定条件的函数才可直接代入求导数极限。 希望上述解释能够帮助您进一步理解函数在零点处导数的求取方法。如有其他疑问，欢迎继续提出来讨论。

问：他的右导数求出来是无穷，为什么都求出来了，反而说右导数不存在

答：亲，哪里有疑问嘛？因为我这边不知道怎么回事，编辑完给您发不出去，我只能截图给您发送了呢