Question

计算二重积分根号下y-x^2的绝对值

Answer 1

问：计算二重积分根号下y-x^2的绝对值

答：大于25这是通过实验确定的。

答：积分:(2-x^2)^(3/2)dx=x(2-x^2)^(3/2)-积分:xd(2-x^2)^(3/2)=x(2-x^2)^(3/2)-积分:x(-2x)*3/2*(2-x^2)^(1/2)dx=x(2-x^2)^(3/2)+3积分:x^2(2-x^2)^(1/2)dx现在求:积分:x^2(2-x^2)^(1/2)dx令:x=根号(2)*cost,t[0,pi/2]

答：t=arccos(根号(2)*x/2)所以:积分:x^2(2-x^2)^(1/2)dx=积分:2(cost)^2*根号(2)sint*根号(2)*(-sint)dt=-4积分:(sintcost)^2dt=-积分:(sin(2t))^2dt=积分:(cos(4t)-1)dt=1/4sin4t-t+C

答：x[0,1]t[pi/2,pi/4]该定积分为:pi/4积分上下限是:(0,1)定积分为:=x(2-x^2)^(3/2)+3积分:x^2(2-x^2)^(1/2)dx=x(2-x^2)^(3/2)|(0,1)+3*pi/4=1+3pi/4因为被积函数是偶函数,所以最后的定积分为:I =2*(1+3pi/4)=2+3pi/3

问：这一步我不理解，为什么y取0到2代入到下面是（2-x平方）的二分之三次方，不应该是（2-x平方）的二分之三次方再减一个负X平方的二分之三次方么

问：【问一问自定义消息】

问：【问一问自定义消息】

问：【问一问自定义消息】

答：因为x趋向于无穷大，所以可以忽略“（2+x）的3/2次方”中的2（知识点参考高数书无穷小章节），原式分母中括号变成“两个x的二分之三次方相加”，结合中括号外的“根号x”，分母变成了“2倍x的平方”；分子正常运算。

问：x取-1到1，不是无穷大

问：【问一问自定义消息】

答：当x趋近于1时,x-1无穷小

问：不对呀

问：∫(-1-->1) (2/3)(y - x²)^(3/2) |(0-->2) dx

问：= ∫(-1-->1) (2/3)(2 - x²)^(3/2) dx

答：∫∫_D √(y - x²) dxdy= ∫(-1-->1) dx ∫(0-->2) √(y - x²) dy= ∫(-1-->1) dx ∫(0-->2) √(y - x²) d(y - x²)= ∫(-1-->1) (2/3)(y - x²)^(3/2) |(0-->2) dx= ∫(-1-->1) (2/3)(2 - x²)^(3/2) dx= (4/3)∫(0-->1) (2 - x²)^(3/2) dx令x = √2sinθ,dx = √2cosθdθ当x = 0,θ = 0,当x = 1,θ = π/4= (4/3)∫(0-->π/4) (2 - 2sin²θ)^(3/2) √2cosθdθ= (4/3)(2√2)(√2)∫(0-->π/4) cos⁴θ dθ= (16/3)∫(0-->π/4) [(1 + cos2θ)/2]² dθ= (4/3)∫(0-->π/4) (1 + 2cos2θ + cos²2θ) dθ= (4/3)∫(0-->π/4) (1 + 2cos2θ) dθ + (2/3)∫(0-->π/4) (1 + cos4θ) dθ= (4/3)(θ + sin2θ) |(0-->π/4) + (2/3)(θ + 1/4 · sin4θ)|(0-->π/4)= (4/3)(π/4 + 1) + (2/3)(π/4)= π/2 + 4/3

问：y取2和0代入后为什么是这个式子∫(-1-->1) (2/3)(2 - x²)^(3/2) dx

答：：这部分不是没有代入，而是等于0了 如图