23.如图1,在 ⊙O 中,AB为弦,CD为直径,且 AB⊥CD 于点E,过点B作 BF⊥AD,交AD的延长线于点F.连接AC,BO.(1)求证: ∠CAE=∠ADC.(2)若 DE=2OE, 求 DF/DE 的值.(3)如图2,若BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点,若 ⊙O 的半径为r,求图中-|||-阴影部分的面积(结果用含r的代数式表示).
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(1) 因为 AB ⊥ CD，所以 AE = EB。由于 AD 是 AB 的延长线，所以 AD > AB，所以 AD > 2AE。又因为 CD 是 ⊙O 的直径，所以 $\angle CAD=90^{\circ}$，$\angle CEA=90^{\circ}-\angle CAE$，$\angle FAD=90^{\circ}$，$\angle BAF=90^{\circ}-\angle AEB=90^{\circ}-\angle CAE$，$\angle ABO=90^{\circ}$。因此，∠���=∠���∠���=∠���+∠���=90∘+∠���=90∘+(∠���−90∘)=∠���.∠CAE∠ADC =∠CEA=∠CAD+∠FAD=90 ∘ +∠BAF=90 ∘ +(∠CAE−90 ∘ )=∠CAE. 因此，$\angle CAE=\angle ADC$。(2) 由于 AB ⊥ CD，所以 $\angle AEB=90^{\circ}$。由 BF ⊥ AD，所以 $\angle AFB=90^{\circ}$。又因为 $\angle AEB=\angle AFB$，所以 $\triangle AEB \cong \triangle AFB$，从而得到 $AE=AF$。又因为 $\triangle CDE$ 是直角三角形，所以 $\angle CED=90^{\circ}$，所以 $ED=2OE$，即 $OE=\frac{1}{3}CD$。因此，��=��−��=��−��=��−��=��−12��=��−2��=��−2×13��=13��.DF =AD−AF=AD−AE=AD−EB=AD− 21 CD=AD−2OE=AD−2× 31 CD= 31 AD. 因此，$\frac{DF}{DE}=\frac{\frac{1}{3}AD}{2OE}=\frac{AD}{6OE}=\frac{AD}{2CD}$。又因为 $\triangle
咨询记录 · 回答于2023-12-27
23. 如图1, 在⊙O中, AB为弦, CD为直径, 且AB⊥CD于点E, 过点B作BF⊥AD, 交AD的延长线于点F. 连接AC, BO.
(1) 求证: ∠CAE=∠ADC.
(2) 若DE=2OE, 求DF/DE的值.
(3) 如图2, 若BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点, 若⊙O的半径为r, 求图中阴影部分的面积(结果用含r的代数式表示).
(1) 因为 $AB \perp CD$，所以 $AE = EB$。由于 $AD$ 是 $AB$ 的延长线，所以 $AD > AB$，所以 $AD > 2AE$。又因为 $CD$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle CAD=90^{\circ}$，$\angle CEA=90^{\circ}-\angle CAE$，$\angle FAD=90^{\circ}$，$\angle BAF=90^{\circ}-\angle AEB=90^{\circ}-\angle CAE$，$\angle ABO=90^{\circ}$。
因此，$\angle CAE=\angle ADC$。
(2) 由于 $AB \perp CD$，所以 $\angle AEB=90^{\circ}$。由 $BF \perp AD$，所以 $\angle AFB=90^{\circ}$。又因为 $\angle AEB=\angle AFB$，所以 $\triangle AEB \cong \triangle AFB$，从而得到 $AE=AF$。又因为 $\triangle CDE$ 是直角三角形，所以 $\angle CED=90^{\circ}$，所以 $ED=2OE$，即 $OE=\frac{1}{3}CD$。
因此，$\frac{DF}{DE}=\frac{\frac{1}{3}AD}{2OE}=\frac{AD}{6OE}=\frac{AD}{2CD}$。
又因为 $\triangle"
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