33.计算+x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy,+其中+2:(x-1)^2+(y-1)^2+x/=1(y1)^2+(y-1)

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摘要我们有： x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy = (u cos(v) +1)^2 (u sin(v) du dz +2u cos(v) dz du) + (u sin(v) +1)^2 (2u sin(v) dx dz + u cos(v) dz dx) + (u^2)^2 (dx dy +2u dx du +2u dy du) 接下来，我们需要将上述微分形式转化为参数形式下的积分。由于曲面是一个光滑曲面，因此可以采用第二类曲面积分的形式，即： ∫∫_S F·dS = ∫∫_D F(x(u,v), y(u,v), z(u,v))·N(u,v)·dA其中，F表示原始微分形式转化后的向量值函数，S表示曲面，D表示曲面在参数空间中的投影区域，N表示曲面在每个点处的法向量，dA表示面积元素。将上述公式应用于本题，我们可以得到： ∫∫_S x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy= ∫∫_D [(u cos(v) +1)^2 (u sin(v),2u cos(v),0) + (u sin(v) +1)^2

咨询记录 · 回答于2023-04-06

33.计算+x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy,+其中+2:(x-1)^2+(y-1)^2+x/=1(y1)^2+(y-1)

我们有： x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy = (u cos(v) +1)^2 (u sin(v) du dz +2u cos(v) dz du) + (u sin(v) +1)^2 (2u sin(v) dx dz + u cos(v) dz dx) + (u^2)^2 (dx dy +2u dx du +2u dy du) 接下来，我们需要将上述微分形式转化为参数形式下的积分。由于曲面是一个光滑曲面，因此可以采用第二类曲面积分的形式，即： ∫∫_S F·dS = ∫∫_D F(x(u,v), y(u,v), z(u,v))·N(u,v)·dA其中，F表示原始微分形式转化后的向量值函数，S表示曲面，D表示曲面在参数空间中的投影区域，N表示曲面在每个点处的法向量，dA表示面积元素。将上述公式应用于本题，我们可以得到： ∫∫_S x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy= ∫∫_D [(u cos(v) +1)^2 (u sin(v),2u cos(v),0) + (u sin(v) +1)^2

(0, u cos(v),2u sin(v)) + (u^2)^2 (2u,2u,0)]·(-2u cos(v), -2u sin(v),1)·dA= -4∫∫_D u^5 cos(v) sin(v) + u^5 sin(v) cos(v) +2u^5 cos(v) +2u^5 sin(v) +2u^3 cos(v) +2u^3 sin(v) dudv根据曲面的方程，可以得到该曲面在参数空间中的投影区域为D={(u,v):0≤u≤1,0≤v≤2π}。因此，我们可以继续计算上述积分的值： ∫∫_S x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy= -2∫_0^1 u^5 du ∫_0^(2π) [cos(v) sin(v) + sin(v) cos(v) +2cos(v) +2sin(v) +2/3(cos(v) + sin(v))] dv= -2/3(4π +6) 因此，原始微分形式的积分结果为-8/3π-4。