Question

f(x)=x²怎么用定理证明他是凸函数

Answer 1

问：f(x)=x²怎么用定理证明他是凸函数

答：亲亲，可以使用定义和一阶导数的性质来证明函数 f(x) = x^2 是凸函数。首先，根据定义，如果对于区间 [a, b] 中的任意两个点 x1 和 x2，有 f( (x1 + x2)/2 ) ≤ (f(x1) + f(x2))/2，则函数 f(x) 是凸函数。考虑对函数 f(x) = x^2，取 a < b，以及任意的 x1, x2 ∈ [a, b]，则由定义有：f( (x1 + x2)/2 ) = ((x1 + x2)/2)^2 = (x1^2 + 2x1x2 + x2^2)/4(f(x1) + f(x2))/2 = (x1^2 + x2^2)/2因此，要证明 f(x) = x^2 是凸函数，只需证明：(x1^2 + 2x1x2 + x2^2)/4 ≤ (x1^2 + x2^2)/2化简可得：x1^2 - 2x1x2 + x2^2 ≥ 0(x1 - x2)^2 ≥ 0显然上式成立，因此 f(x) = x^2 是凸函数

答：亲，您还有什么不明白的地方吗？您可以详细跟我说说您的情况哦，我好为您解答哦！

问：用这个证明

问：用我给你拍那个带进去证明

答：根据定理2.1.2，要证明函数 f(x) = x^2 是凸函数，需要验证对于任意的 x, y 和 λ ∈ [0, 1]，都有f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)对于函数 f(x) = x^2，有：f(λx + (1-λ)y) = (λx + (1-λ)y)^2 = λx^2 + 2λ(1-λ)xy + (1-λ)^2y^2λf(x) + (1-λ)f(y) = λx^2 + (1-λ)y^2因此，要证明 f(x) = x^2 是凸函数，只需要证明：2λ(1-λ)xy + (1-λ)^2y^2 ≤ 0化简可得：λx^2 - 2λxy + λy^2 ≥ 0λ(x - y)^2 ≥ 0由于 λ ∈ [0, 1]，所以上式成立，因此 f(x) = x^2 是凸函数。