判别级数 (-1)^n1/3^n(1-1/n)^n2 的敛散性,并指明是绝对收敛还是条件收敛?
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我们可以使用级数的根值测试（或称作柯西根值准则）来判断该级数的敛散性。具体地，设 $a_n = (-1)^n\frac{1}{3^n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}$，则有：
$$\sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{3}\sqrt[n]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}} = \frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$$
注意到 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{3}e^{-1} < 1$，因此由级数的根值测试可知原级数绝对收敛。
又因为原级数的每一项都是实数，因此其条件收敛和绝对收敛等价，即原级数既是绝对收敛的，也是条件收敛的。
综上所述，给定级数 $(-1)^n\frac{1}{3^n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}$ 是绝对收敛的，也是条件收敛的。
咨询记录 · 回答于2024-01-16
判别级数 (-1)^n1/3^n(1-1/n)^n2 的敛散性,并指明是绝对收敛还是条件收敛?
我们可以使用级数的根值测试（或称作柯西根值准则）来判断该级数的敛散性。具体地，设
$a_n = (-1)^n\frac{1}{3^n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}$，则有：
$$\sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{3}\sqrt[n]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}} = \frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$$
注意到
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{3}e^{-1} < 1$，因此由级数的根值测试可知原级数绝对收敛。
又因为原级数的每一项都是实数，因此其条件收敛和绝对收敛等价，即原级数既是绝对收敛的，也是条件收敛的。
综上所述，给定级数 $(-1)^n\frac{1}{3^n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}$ 是绝对收敛的，也是条件收敛的。
你好可以写在纸上吗，我看不懂
写在纸上也是这样的呀 
那些符号我看不懂
先看是否绝对收敛 ∑（n/3^n） 用比值法 an=n/3^n an+1=(n+1)/3^(n+1) limn->∞|an+1/an|=limn->∞[(n+1)/3^(n+1)]/[n/3^n]=limn->∞[(n+1)/n]/3=1/3<1 所以由比值判别法，绝对收敛
这个呢
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