Question

证明f(x)=X³+1/X³是奇函数

Answer 1

问：证明f(x)=X³+1/X³是奇函数

答：亲亲,很高兴为您解答哦要证明$f(x)$是奇函数，需要证明$f(-x)=-f(x)$对于所有的$x$成立。首先，我们有：$$f(-x)=(-x)^3+\frac{1}{(-x)^3}=-x^3+\frac{1}{x^3}$$接下来，我们将$f(x)$代入到$-f(x)$中：$$-f(x)=-(x^3+\frac{1}{x^3})=-x^3-\frac{1}{x^3}$$因此，我们需要证明：$-x^3+\frac{1}{x^3}=-x^3-\frac{1}{x^3}$。移项得：$\frac{2}{x^3}=0$。由于$x$可以取任意值，因此上述等式恒成立。因此，$f(x)$是奇函数。

答：亲亲相关拓展：拓展1：什么是奇函数？函数$f(x)$是奇函数，当且仅当对于任何一个实数$x$，都有$f(-x)=-f(x)$。简单来说，奇函数在函数图像上以原点为对称中心。拓展2：如何证明一个函数是奇函数？要证明一个函数是奇函数，需要证明对于任何一个实数$x$，都有$f(-x)=-f(x)$。具体方法可以根据题目的特点而定，一般可以通过将$f(-x)$代入$f(x)$的表达式中，然后进行推导和化简，zui终得出$f(-x)=-f(x)$的结果。如果能够证明$f(x)$是奇函数，则可以使用奇偶xing的xing质来简化计算，例如可以省略一些计算步骤或缩短证明过程。

问：能用高一知识解答吗

答：要证明$f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}$是奇函数，需要证明对于任意一个实数$x$，都有$f(-x)=-f(x)$成立。首先，我们可以计算出$f(-x)$的表达式：f(-x)=(-x)^3+\frac{1}{(-x)^3}=-x^3+\frac{1}{x^3}然后，我们将$f(-x)$代入$f(x)$的表达式中，进行推导和化简：-f(x)=-(x^3+\frac{1}{x^3})=-x^3-\frac{1}{x^3}$$可以看出，$f(-x)=-x^3+\frac{1}{x^3}=-f(x)$，因此$f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}$是奇函数。这个结果也可以通过图像来验证。由于$f(x)$是奇函数，所以它在原点处对称。当$x>0$时，$f(x)>0$；当$x<0$时，$f(x)<0$。也就是说，$f(x)$的图像在$x$轴正半轴和$x$轴负半轴分别关于原点对称。