四.已知曲线过点(0,1),且过曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率等于该-|||-点纵
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设曲线的方程为 $y = f(x)$。
根据已知条件，任意一点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍加2，可以表示为：$f^{\prime}(x) = 3y + 2$。
为了求得曲线的方程，需要对上式进行求解。
首先对 $f^{\prime}(x)$ 进行求导，得到 $f^{\prime\prime}(x)$。
$f^{\prime\prime}(x) = \frac{d}{dx} (3y + 2) = 3f^{\prime}(x)$
然后将 $f^{\prime\prime}(x)$ 代入 $f^{\prime}(x)$ 的表达式中，得到含有 $f(x)$ 的方程。
$3f^{\prime}(x) = 3y + 2$
由于 $f^{\prime}(x)$ 表示曲线的斜率，而曲线经过任意一点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍加2，因此可以得到：
$3f^{\prime}(x) = 3f(x) + 2$
求解这个一阶线性常微分方程，可以使用分离变量法：
$3f^{\prime}(x) - 3f(x) = 2$
咨询记录 · 回答于2024-01-06
四.已知曲线过点(0,1),且过曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率等于该-|||-点纵
已知曲线过点(0,1),且过曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍加2，求此曲线方程
设曲线的方程为 $y = f(x)$。
根据已知条件，任意一点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍加2，可以表示为：$f^{\prime}(x) = 3y + 2$。
为了求得曲线的方程，需要对上式进行求解。
首先对 $f^{\prime}(x)$ 进行求导，得到 $f^{\prime\prime}(x)$：
$f^{\prime\prime}(x) = \frac{d}{dx} (3y + 2) = 3f^{\prime}(x)$
然后将 $f^{\prime\prime}(x)$ 代入 $f^{\prime}(x)$ 的表达式中，得到含有 $f(x)$ 的方程：
$3f^{\prime}(x) = 3y + 2$
由于 $f^{\prime}(x)$ 表示曲线的斜率，而曲线经过任意一点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍加2，因此可以得到：
$3f^{\prime}(x) = 3f(x) + 2$
求解这个一阶线性常微分方程，可以使用分离变量法：
$3f^{\prime}(x) - 3f(x) = 2$
对上式进行积分，得到：
3∫(1/f(x))df(x) = 2∫dx
对左侧进行积分，得到：
3ln|f(x)| = 2x + C1
其中，C1 是积分常数。求解得到 f(x) 的表达式：
|f(x)| = e^((2/3)x + C1/3)
由于 f(x) 是曲线的函数值，应该为实数，因此可以去掉绝对值符号：
f(x) = ±e^((2/3)x + C1/3)
根据初始条件 f(0) = 1，代入得到具体的函数形式：
1 = ±e^(C1/3)
C1/3 = ln(1)
C1 = 0
因此，得到 f(x) 的具体函数形式为：
f(x) = e^(2/3)x
综上所述，曲线的方程为 y = e^(2/3)x。
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