2．设X1,X2,..., Xn 是来自总体 U (0,1）的样本，求： (1) P {X2+X2+X3≤1};(2) P {X3+X3+X3≤1}:(3) P { X ,+......+X1200>605}

1个回答

庄老师解答

专业答主服务有保障

关注

展开全部

摘要首先，由于样本来自总体 $U(0,1)$，因此每个样本都是独立同分布的。接下来，我们可以使用卷积的方法来求解题目中的累加和的分布。具体而言，设 $Y=X_1+X_2+X_3$，则

$$ f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)f_{X_3}(z-y)dx dz $$

其中，$f_{X_i}(x)$ 表示总体 $U(0,1)$ 的概率密度函数，即

$$ f_{X_i}(x)=

\begin{cases}

1, 0 \leq x \leq 1 \\

0, \text{否则}

\end{cases} $$

(1) 要求 $P(X_1+X_2+X_3 \leq 1)$，根据上面的公式，有

$$ \begin{aligned} P(X_1+X_2+X_3 \leq 1) &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}1dzdydx \\ &= \int_0^1\int_0^{1-x}(1-x)dzdydx \\ &=\frac{1}{6} \end{aligned} $$

(2) 要求 $P(X_3+X_3+X_3 \leq 1)$，根据上面的公式，有

$$ \begin{aligned} P(X_3+X_3+X_3 \leq 1) &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}1dzdydx \\ &= \int_0^1\int_0^{1-x}(1-3x)dzdydx \\ &=\frac{1}{6} \end{aligned} $$

(3) 要求 $P(X_1+\cdots +X_{1200}>605)$，我们可以使用中心极限定理来近似计算。根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，即

$$ \bar{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}) $$

其中，$\mu$ 和 $\sigma$ 分别为总体 $U(0,1)$ 的均值和标准差。由于 $U(0,1)$ 的均值是 $\mu=\frac{1}{2}$，方差是 $\sigma^2=\frac{1}{12}$，因此

$$ \bar{X} \sim N(\frac{1}{2},\frac{1}{1200}) $$

接下来，我们要计算 $\bar{X}$ 大于 $0.504$（即

咨询记录 · 回答于2024-01-13

(1) P {X2+X2+X3≤1};(2) P {X3+X3+X3≤1}:(3) P { X ,+......+X1200>605}