Question

圆的方程x²+y²+2x-4y-4=0,直线l:x-√3y+3=0,过点(0,2)且与直线l平行的直线与圆相交所截得的弦长

Answer 1

问：圆的方程x²+y²+2x-4y-4=0,直线l:x-√3y+3=0,过点(0,2)且与直线l平行的直线与圆相交所截得的弦长

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦将圆的方程化为标准形式：x²+2x+1+y²-4y+4=9(x+1)²+(y-2)²=3²圆心为(-1,2)，半径为3。直线l的斜率为√3，过点(0,2)且平行于l的直线的斜率也为√3，设该直线方程为y=√3x+2。解直线y=√3x+2和圆(x+1)²+(y-2)²=9的交点：将y=√3x+2代入圆的方程：(x+1)²+3x²+4x+1-12x+16=94x²-8x+4=0x²-2x+1=0解得x=1, y=√3×1+2=√3+2所以交点为P(1, √3+2)直线y=√3x+2在点(1, √3+2)的切线斜率为√3，意味着直线y=√3x+2与圆交点处的圆周切线平行于直线l。连接圆心O(-1,2)和交点P(1,√3+2)，得到弦OP。由圆的性质可知，直径垂直于直径所在直线，所以OP的中垂线也是l的垂线，即斜率为-1/√3，过点P的直线方程为：y-√3-2=-1/√3(x-1)化简得：y=-1/√3 x+2√3+2将该直线方程代入圆的方程，得到方程：(x+1)²+(-1/√3 x+2√3+2-2)²=3²将该方程化简，解得x=7/3,-1/3对应的y值分别为y=1/3√3+8/3，-1/3√3+8/3根据两点间距离公式可得OP的长度为：√[ (7/3-1)² + (1/3√3+8/3-(√3+2))² ] ≈ 3.3898所以所求的弦长为2倍的OP长度，约为6.78。