Question

设a是n阶实对称矩阵,且A是半正定矩阵,证明(1)|A+I|≥1. (2)等号成立的充要条件是A=0

Answer 1

问：设a是n阶实对称矩阵,且A是半正定矩阵,证明(1)|A+I|≥1. (2)等号成立的充要条件是A=0

答：亲 您好，非常抱歉，让您久等了哦，根据您所描述的问题：设a是n阶实对称矩阵,且A是半正定矩阵,证明(1)|A+I|≥1. (2)等号成立的充要条件是A=0

答：(1) 首先，根据矩阵的性质有：如果A是半正定矩阵，则A的特征值均为非负实数。 因此，A的每个特征值加1后仍为非负实数，即λi+1≥1，其中λi是A的第i个特征值。 于是，我们有：|A+I| = ∏(λi+1) ≥ ∏1 = 1 因此，|A+I|≥1。 (2) 如果等号成立，则必须有|A+I|=∏(λi+1)=1。 由于每个λi+1≥1，因此只有当λi=0时，λi+1=1才有可能成立。 这意味着A的每个特征值都为0，即A是零矩阵。 反之，如果A是零矩阵，则有A+I=I，因此|A+I|=1。 因此，等号成立的充要条件是A=0。