Question

已知A={(x,y)|x=n,y=an+b,nZ},.,,,集合问题 高手进。

已知A={(x,y)|x=n,y=an+b,n属于Z}，B={(x,y)|x=m,y=3m^2+15,m属于Z}，C={(x,y)|x^2+y^2<=144},问是否存在实数a,b，使得1）A交B不等于空集 。（2）（a,b)属于C 。同时成立。

Answer 1

据题意，知
A={(x,y)|x=n,y=an+b,n∈Z}
B={(x,y)|x=m,y=3m^2+15,m∈Z}
假设存在实数a,b，使得A∩B≠Ø成立，则方程组
y=ax+b
y=3x²+15 有解，且x∈Z.
消去y，方程组化为 3x²-ax+15-b=0...①
∵方程①有解，
∴△=a²-12(15-b)≥0.
∴-a²≤12b-180...②
又由(2)，得 a²+b²≤144...③
由②+③，得 b²≤12b-36.
∴(b-6)²≤0
∴b=6.
代入②，得 a²≥108.
代入③，得 a²≤108.
∴a²=108...a=±6√3
将a=±6√3,b=6代入方程①，得
3x²±6x√3+9=0.
解之得 x=±√3，与x∈Z矛盾。
∴不存在实数a,b使(1)(2)同时成立。