Question

考研数学

函数y=f（x）在x=x0的某邻域内有三阶连续导数，f‘’（x0）=0，f'‘’（0）不为0，函数在x0处是不是拐点？为什么？求详细解答（同济五版高数习题3-4最后一题）

Answer 1

解：不妨设f ′′′(x0)>0. 由f ′′′(x)的连续性, 存在x0的某一邻域(x0−δ, x0+δ), 在此邻域内有f ′′′(x)>0. 由拉格朗日中值定理, 有
f ′′(x)−f ′′(x0)=f ′′′(ξ)(x−x0) (ξ介于x0与x之间),
即 f ′′(x)=f ′′′(ξ)(x−x0).
因为当x0−δ<x<x0时, f ′′(x)<0; 当x0<x<x0+δ 时, f ′′(x)>0, 所以(x0, f(x0))是拐点.
希望对楼主有用！