若A为mxn矩阵且其行秩K<n,则列秩
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若A为一个mxn阶矩阵，定义A的列秩为线性独立的列向量数，行秩为线性独立行向量数。下述性质成立：矩阵A的列秩等于行秩，换句话说矩阵A的行空间维数等于列空间维数。
线代教科书基本上介绍了高斯消元法后，将矩阵的秩定义为化简后梯形矩阵所包含的主元(pivot)数目，矩阵的每一行与每一列至多有一个主元，显然包含主元的列的数目等于包含主元列的数目，因此列秩等于行秩是不言而喻的。举例：
但是仔细想来，如果从列秩是列空间维数，行秩是行空间维数出发，上面给出的理由显然是不能服众的。下面介绍一种用矩阵乘法运算规则给出一个证明，
假设mxn阶矩阵A的列秩为c，行秩为r。则A包含c个m维线性独立的列向量，它们张成A的行空间。将这些列向量放到一起组成一个mxc阶矩阵B，
咨询记录 · 回答于2022-06-03
若A为mxn矩阵且其行秩K
你好
若A为一个mxn阶矩阵，定义A的列秩为线性独立的列向量数，行秩为线性独立行向量数。下述性质成立：矩阵A的列秩等于行秩，换句话说矩阵A的行空间维数等于列空间维数。线代教科书基本上介绍了高斯消元法后，将矩阵的秩定义为化简后梯形矩阵所包含的主元(pivot)数目，矩阵的每一行与每一列至多有一个主元，显然包含主元的列的数目等于包含主元列的数目，因此列秩等于行秩是不言而喻的。举例：但是仔细想来，如果从列秩是列空间维数，行秩是行空间维数出发，上面给出的理由显然是不能服众的。下面介绍一种用矩阵乘法运算规则给出一个证明，假设mxn阶矩阵A的列秩为c，行秩为r。则A包含c个m维线性独立的列向量，它们张成A的行空间。将这些列向量放到一起组成一个mxc阶矩阵B，
考虑矩阵A的第i行，利用以行为计算单元的矩阵乘法规则，可得，矩阵A的每一行可以表示成D的每一行的线性组合，因为A的行空间维数不大于D的行数，因此，行秩r小于等于c，即A的行空间维数不大于列空间维数。用同样的方式对A的转置进行推导，可以得到A转置的行空间维数c不大于列空间维数r,也就是说c小于等于r。将两个结论对比只能取r=c。行秩等于列秩得到了证明。
等于m
呢
还是
n
k
等于k
等于k
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