Question

设f(x),g(x)为有理系数多项式,且在负复数域上没有公共根,则为什么在有理数域上最大公因式为1？

Answer 1

问：设f(x),g(x)为有理系数多项式,且在负复数域上没陆冲有液迅公共根,则为闹悉此什么在有理数域上最大公因式为1？

答：# 设 $f(x)$，$g(x)$ 为有理系数多项式，且在负复数域上没有公共根。 如果在有理数域上它们的最大公因此高式不是 1， 则存在一个大于 1 的有理数 $a$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公因子， 即 $f(x) = ah(x)$ 和 $g(x) = ak(x)$，其中 $h(x)$，$k(x)$ 为有理培漏系数多项式且互素。 因为 $f(x)$，$g(x)$ 在负复数域上没有公共根， 所以它们在负复数域上没有重复因子，即 $h(x)$，$k(x)$ 也没有公共因子。 由于有理系数多项式在有理数域上是唯一分解的， 所以 $h(x)$，$k(x)$ 在有理数配扒烂域上也没有重复因子，即它们在有理数域上的最大公因式为 1。

答：由于 f（x）=ah（x），g（x）=ak（x），所以 a 也是 h（隐唯斗x），k（x） 的山简公因子，这与 h（灶磨x），k（x） 在有理数域上的最大公因式为 1$矛盾。因此，假设不成立，即 f（x），g（x）在有理数域上的最大公因式为 1。